Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Vlastnosti ekvivalencí – MatWiki

Vlastnosti ekvivalencí

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání:Nechť R a S jsou nějaké dvě relace ekvivalence na množině X. Rozhodněte, zda následující množiny nutně jsou či nejsou relace ekvivalence na X:

  1. LaTeX: R\cup S
  2. LaTeX: R \cap S
  3. LaTeX: R \setminus S
  4. LaTeX: R \circ S


Zdroj: vlákno "relace" na forum.matweb.cz

'Řešení

  1. Ne. Zvolme X={1,2,3}, R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}, S={(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)}. Pak do LaTeX: R\cup S patří (3,1) a (1,2), ale nepatří do ní (3,2), což naruší tranzitivitu.
  2. Ano. Stačí rozmyslet, že
    • Průnik dvou reflexivních je reflexivní
    • Průnik dvou symetrických je symetrický: pokud průnik obsahuje (a,b), pak obě obsahují (a,b), ze symetrie jednotlivých relací obě obsahují (b,a), průnik obsahuje (b,a), průnik je symetrický
    • Průnik dvou transitivních je transitivní: pokud průnik obsahuje (a,b) a (b,c), pak obě obsahují (a,b) a (b,c), z tranzitivity jednotlivých relací obě obsahují (a,c), průnik obsahuje (a,c), průnik je tranzitivní
  3. Ne, množinový rozdíl dvou reflexivních relací není reflexivní (dokonce snadno vidíme, že je ireflexivní)
  4. Ne, při stejné volbě jako v prvním příkladě do relace LaTeX: R\circ S patří (3,2), ale ne (2,3).