Určete cos(x/2)

Z MatWiki

Verze z 16. 6. 2011, 06:57; Zdenek1 (diskuse | příspěvky)
(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Je dáno LaTeX: \sin x=-\frac34, LaTeX: x\in\left\langle\frac{3\pi}2;2\pi\right\rangle. Určete LaTeX: \cos\frac x2.

Řešení

Hodnotu LaTeX: \cos\frac x2 můžeme určit pomocí vztahu

LaTeX: \cos\frac x2=\sqrt{\frac{1+\cos x}2}\qquad(1)

potřebujem ale nejprve určit LaTeX: \cos x. Z goniometrické jedničky

LaTeX: \sin^2x+\cos^2x=1

plyne

LaTeX: \cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}.

Ve čtvrtém kvadrantu je kosínus kladný, proto

LaTeX: \cos x=\sqrt{1-\left(-\frac34\right)^2}=\frac{\sqrt7}4

Nyní dosazením do vztahu LaTeX: (1) máme

LaTeX: \cos\frac x2=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt7}4}2}=\sqrt{\frac{4+\sqrt7}8}=\sqrt{\frac{8+2\sqrt7}{16}}=\sqrt{\frac{7+2\sqrt7+1}{16}}=\sqrt{\frac{(\sqrt7+1)^2}{16}}=\frac{\sqrt7+1}4