Užitečné vzorce

Z MatWiki

Verze z 27. 8. 2010, 11:39; Pavel Brožek (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)

Budiž zde dána jednoduchá "kuchařka" na úpravu vzorců, na kterou bude možno odkazovat.

V následujícím textu je n číslo přirozené, ztímco a,b mohou být čísla libovolná (reálná, komplexní, z okruhu $LaTeX: \mathbb{Z}_7$ ,... )

(1.1) $LaTeX: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

(1.2) $LaTeX: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

(1.3) $LaTeX: (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

(1.4) $LaTeX: (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

(1.5) $LaTeX: (a+b)^n=a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots+{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+b^n$

(1.6) $LaTeX: (a-b)^n=a^n-{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2-\cdots+(-1)^{n-1}{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+(-1)^{n}b^n$

(vznikne z 1.5 náhradou b za -b; to se projeví změnou znamének sčítanců na sudých pozicích zleva)

(2.1) $LaTeX: a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

(2.2) $LaTeX: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

(2.3) $LaTeX: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

(2.4) $LaTeX: a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)$

(2.5) $LaTeX: a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b^1+a^{n-3}b^2+\cdots+b^{n-1})$

(2.6) Pro lichá k: $LaTeX: a^k+b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+a^{k-3}b^2-\cdots+b^{k-1})$

(2.7) Pro sudá k: $LaTeX: a^k-b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+\cdots-b^{k-1})$

(2.8) $LaTeX: a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)$

Následujíc vzorce platí pro kladné p a libovolná a,b; pro záporné p platí jen pro a,b přirozená (případně racionální s lichým jmenovatelem). Pokud se pohybujeme v komplexních číslech, pak p může být libovolné komplexní číslo a a,b libovolná reálná (o rozšíření na komplexní a,b je předpokládám zbytečné psát).

(3.1) $LaTeX: p^{ab}=(p^a)^b$