Užitečné vzorce

Z MatWiki

Verze z 27. 11. 2013, 19:33; Lukáš Havrlant (diskuse | příspěvky)
(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání

Budiž zde dána jednoduchá "kuchařka" na úpravu vzorců, na kterou bude možno odkazovat.

V následujícím textu je n číslo přirozené, zatímco a,b mohou být čísla libovolná (reálná, komplexní, z okruhu LaTeX: \mathbb{Z}_7,... )

(1.1) LaTeX: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(1.2) LaTeX: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(1.3) LaTeX: (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

(1.4) LaTeX: (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

(1.5) LaTeX: (a+b)^n=a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots+{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+b^n

(1.6) LaTeX: (a-b)^n=a^n-{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2-\cdots+(-1)^{n-1}{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+(-1)^{n}b^n

(vznikne z 1.5 náhradou b za -b; to se projeví změnou znamének sčítanců na sudých pozicích zleva)


(2.0) LaTeX: a^2+b^2=(a-ib)(a+ib)

(2.1) LaTeX: a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(2.1a) LaTeX: a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b} (jde o často používanou obměnu vzorce (2.1))

(2.3) LaTeX: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

(2.2) LaTeX: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

(2.4) LaTeX: a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)

(2.5) LaTeX: a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b^1+a^{n-3}b^2+\cdots+b^{n-1})

(2.6) Pro lichá k: LaTeX: a^k+b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+a^{k-3}b^2-\cdots+b^{k-1})

(2.7) Pro sudá k: LaTeX: a^k-b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+\cdots-b^{k-1})

(2.8) LaTeX: a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)


Následující vzorce platí pro kladné p a libovolná a,b; pro záporné p platí jen pro a,b přirozená (případně racionální s lichým jmenovatelem). Pokud se pohybujeme v komplexních číslech, pak p může být libovolné komplexní číslo a a,b libovolná reálná (o rozšíření na komplexní a,b je předpokládám zbytečné psát).

(3.1) LaTeX: p^{ab}=(p^a)^b

(3.2) LaTeX: p^{a+b}=p^a\cdot p^b

(3.3) LaTeX: p^{a-b}=\frac{p^a}{p^b}

(3.4) LaTeX: p^{\frac{a}{n}}=\sqrt[n]{p^a}


Tady LaTeX: p, q, z, x > 0; \, z, x \neq 1; \, a \in \mathbb{R} a LaTeX: e je Eulerovo číslo.

(4.1) LaTeX: \ln(p)=\log_e(p)

(4.2) LaTeX: \log_z(pq)=\log_z(p)+\log_z(q)

(4.3) LaTeX: \log_z(\frac{p}{q})=\log_z(p)-\log_z(q)

(4.4) LaTeX: \log_z(p^a)=a\cdot\log_z(p)

(4.5) LaTeX: \log_z(p)=\frac{\log_x p}{\log_x z}


(5.1) LaTeX: \sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}

(5.2) LaTeX: \sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

(5.3) LaTeX: \sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}

Hodit se mohou také