Užitečné vzorce

Z MatWiki

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 28. 8. 2010, 07:37

Budiž zde dána jednoduchá "kuchařka" na úpravu vzorců, na kterou bude možno odkazovat.

V následujícím textu je n číslo přirozené, ztímco a,b mohou být čísla libovolná (reálná, komplexní, z okruhu $LaTeX: \mathbb{Z}_7$ ,... )

(1.1) $LaTeX: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

(1.2) $LaTeX: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

(1.3) $LaTeX: (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

(1.4) $LaTeX: (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

(1.5) $LaTeX: (a+b)^n=a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots+{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+b^n$

(1.6) $LaTeX: (a-b)^n=a^n-{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2-\cdots+(-1)^{n-1}{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+(-1)^{n}b^n$

(vznikne z 1.5 náhradou b za -b; to se projeví změnou znamének sčítanců na sudých pozicích zleva)

(2.1) $LaTeX: a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

(2.2) $LaTeX: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

(2.3) $LaTeX: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

(2.4) $LaTeX: a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)$

(2.5) $LaTeX: a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b^1+a^{n-3}b^2+\cdots+b^{n-1})$

(2.6) Pro lichá k: $LaTeX: a^k+b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+a^{k-3}b^2-\cdots+b^{k-1})$

(2.7) Pro sudá k: $LaTeX: a^k-b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+\cdots-b^{k-1})$

(2.8) $LaTeX: a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)$

Následujíc vzorce platí pro kladné p a libovolná a,b; pro záporné p platí jen pro a,b přirozená (případně racionální s lichým jmenovatelem). Pokud se pohybujeme v komplexních číslech, pak p může být libovolné komplexní číslo a a,b libovolná reálná (o rozšíření na komplexní a,b je předpokládám zbytečné psát).

(3.1) $LaTeX: p^{ab}=(p^a)^b$

(3.2) $LaTeX: p^{a+b}=p^a\cdot p^b$

(3.3) $LaTeX: p^{a-b}=\frac{p^a}{p^b}$

(3.4) $LaTeX: p^{\frac{a}n}=\sqrt[n]p^a}$

(4.1) $LaTeX: \ln(p)=\log_e(p)$

(4.2) $LaTeX: \log_z(pq)=\log_z(p)+\log_z(q)$

(4.3) $LaTeX: \log_z(\frac{p}{q})=\log_z(p)-\log_z(q)$

(4.4) $LaTeX: \log_z(p^a)=a\cdot\log_z(p)$

(4.5) $LaTeX: \log_z(p)=\frac{\ln p}{\ln z}$

(5.1) $LaTeX: \sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}$

(5.2) $LaTeX: \sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

(5.3) $LaTeX: \sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Hodit se mohou také

Verze z 27. 8. 2010, 23:46 (zobrazit zdroj) Spybot (diskuse \| příspěvky) ← Porovnání se starší verzí		Verze z 28. 8. 2010, 07:37 (zobrazit zdroj) Pavel Brožek (diskuse \| příspěvky) m (Oprava odkazu) Porovnání s novější verzí →
Řádka 15:		Řádka 15:
	{{Záložka (odkaz)\|(1.6)\|u1-6}} <math>(a-b)^n=a^n-{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2-\cdots+(-1)^{n-1}{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+(-1)^{n}b^n</math>		{{Záložka (odkaz)\|(1.6)\|u1-6}} <math>(a-b)^n=a^n-{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2-\cdots+(-1)^{n-1}{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+(-1)^{n}b^n</math>

-	(vznikne z [~~http://wiki.matweb.cz/index.php/Užitečné_vzorce~~#u1-5 1.5] náhradou b za -b; to se projeví změnou znamének sčítanců na sudých pozicích zleva)	+	(vznikne z [[#u1-5\|1.5]] náhradou b za -b; to se projeví změnou znamének sčítanců na sudých pozicích zleva)

Užitečné vzorce

Z MatWiki

Verze z 28. 8. 2010, 07:37

Zobrazení

Osobní nástroje

Navigace

Hledat

Nástroje