Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Užitečné vzorce – MatWiki

Užitečné vzorce

Z MatWiki

(Rozdíly mezi verzemi)
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: Budiž zde dána jednoduchá "kuchařka" na úpravu vzorců, na kterou bude možno odkazovat. V následujícím textu je n číslo přirozené, ztímco a,b mohou být čí…)
m
 
(Není zobrazeno 13 mezilehlých verzí.)
Řádka 1: Řádka 1:
Budiž zde dána jednoduchá "kuchařka" na úpravu vzorců, na kterou bude možno odkazovat.
Budiž zde dána jednoduchá "kuchařka" na úpravu vzorců, na kterou bude možno odkazovat.
-
V následujícím textu je n číslo přirozené, ztímco a,b mohou být čísla libovolná (reálná, komplexní, z okruhu <math>\mathbb{Z}_7</math>,... )
+
V následujícím textu je n číslo přirozené, zatímco a,b mohou být čísla libovolná (reálná, komplexní, z okruhu <math>\mathbb{Z}_7</math>,... )
-
{{Záložka (odkaz)|(1.1)|1-1}} <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(1.1)|u1-1}} <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(1.2)|1-2}} <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(1.2)|u1-2}} <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(1.3)|1-3}} <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(1.3)|u1-3}} <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(1.4)|1-4}} <math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(1.4)|u1-4}} <math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(1.5)|1-5}} <math>(a+b)^n=a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots+{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+b^n</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(1.5)|u1-5}} <math>(a+b)^n=a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots+{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+b^n</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(1.6)|1-6}} <math>(a-b)^n=a^n-{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2-\cdots+(-1)^{n-1}{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+(-1)^{n}b^n</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(1.6)|u1-6}} <math>(a-b)^n=a^n-{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2-\cdots+(-1)^{n-1}{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+(-1)^{n}b^n</math>
-
(vznikne z 1.5 náhradou b za -b; to se projeví změnou znamének sčítanců na sudých pozicích zleva)
+
(vznikne z [[#u1-5|1.5]] náhradou b za -b; to se projeví změnou znamének sčítanců na sudých pozicích zleva)
-
{{Záložka (odkaz)|(2.1)|2-1}} <math>a^2-b^2=(a-b)(a+b)</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(2.0)|u2-0}} <math>a^2+b^2=(a-ib)(a+ib)</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(2.2)|2-2}} <math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(2.1)|u2-1}} <math>a^2-b^2=(a-b)(a+b)</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(2.3)|2-3}} <math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(2.1a)|u2-1a}} <math>a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}</math> (jde o často používanou obměnu vzorce (2.1))
-
{{Záložka (odkaz)|(2.4)|2-4}} <math>a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(2.3)|u2-3}} <math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(2.5)|2-5}} <math>a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b^1+a^{n-3}b^2+\cdots+b^{n-1})</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(2.2)|u2-2}} <math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(2.6)|2-6}} Pro lichá k: <math>a^k+b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+a^{k-3}b^2-\cdots+b^{k-1})</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(2.4)|u2-4}} <math>a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(2.7)|2-7}} Pro sudá k: <math>a^k-b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+\cdots-b^{k-1})</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(2.5)|u2-5}} <math>a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b^1+a^{n-3}b^2+\cdots+b^{n-1})</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(2.8)|2-8}} <math>a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(2.6)|u2-6}} Pro lichá k: <math>a^k+b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+a^{k-3}b^2-\cdots+b^{k-1})</math>
 +
{{Záložka (odkaz)|(2.7)|u2-7}} Pro sudá k: <math>a^k-b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+\cdots-b^{k-1})</math>
-
Následujíc vzorce platí pro kladné p a libovolná a,b; pro záporné p platí jen pro a,b přirozená (případně racionální s lichým jmenovatelem). Pokud se pohybujeme v komplexních číslech, pak p může být libovolné komplexní číslo a a,b libovolná reálná (o rozšíření na komplexní a,b je předpokládám zbytečné psát).
+
{{Záložka (odkaz)|(2.8)|u2-8}} <math>a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(3.1)|3-1}} <math>p^{ab}=(p^a)^b</math>
 
-
{{Záložka (odkaz)|(3.2)|3-2}} <math>p^{a+b}=p^a\cdot p^b</math>
+
Následující vzorce platí pro kladné p a libovolná a,b; pro záporné p platí jen pro a,b přirozená (případně racionální s lichým jmenovatelem). Pokud se pohybujeme v komplexních číslech, pak p může být libovolné komplexní číslo a a,b libovolná reálná (o rozšíření na komplexní a,b je předpokládám zbytečné psát).
-
{{Záložka (odkaz)|(3.3)|3-3}} <math>p^{a-b}=\frac{p^a}{p^b}</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(3.1)|u3-1}} <math>p^{ab}=(p^a)^b</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(3.4)|3-4}} <math>p^{\frac{a}n}=\sqrt[n]p^a}</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(3.2)|u3-2}} <math>p^{a+b}=p^a\cdot p^b</math>
 +
{{Záložka (odkaz)|(3.3)|u3-3}} <math>p^{a-b}=\frac{p^a}{p^b}</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(4.1)|4-1}} <math>\ln(p)=\log_e(p)</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(3.4)|u3-4}} <math>p^{\frac{a}{n}}=\sqrt[n]{p^a}</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(4.2)|4-2}} <math>\log_z(pq)=\log_z(p)+\log_z(q)</math>
 
-
{{Záložka (odkaz)|(4.3)|4-3}} <math>\log_z(\frac{p}{q})=\log_z(p)-\log_z(q)</math>
+
Tady <math>p, q, z, x > 0; \, z, x \neq 1; \, a \in \mathbb{R}</math> a <math>e</math> je {{W|Eulerovo číslo}}.
-
{{Záložka (odkaz)|(4.4)|4-4}} <math>\log_z(p^a)=a\cdot\log_z(p)</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(4.1)|u4-1}} <math>\ln(p)=\log_e(p)</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(4.5)|4-5}} <math>\log_z(p)=\frac{\ln p}{\ln z}</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(4.2)|u4-2}} <math>\log_z(pq)=\log_z(p)+\log_z(q)</math>
 +
{{Záložka (odkaz)|(4.3)|u4-3}} <math>\log_z(\frac{p}{q})=\log_z(p)-\log_z(q)</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(5.1)|5-1}} <math>\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(4.4)|u4-4}} <math>\log_z(p^a)=a\cdot\log_z(p)</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(5.2)|5-2}} <math>\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>
+
{{Záložka (odkaz)|(4.5)|u4-5}} <math>\log_z(p)=\frac{\log_x p}{\log_x z}</math>
-
{{Záložka (odkaz)|(5.3)|5-3}} <math>\sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}</math>
+
 
 +
{{Záložka (odkaz)|(5.1)|u5-1}} <math>\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}</math>
 +
 
 +
{{Záložka (odkaz)|(5.2)|u5-2}} <math>\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>
 +
 
 +
{{Záložka (odkaz)|(5.3)|u5-3}} <math>\sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}</math>
 +
 
 +
<div style="margin-bottom:60em">
 +
Hodit se mohou také
 +
* [http://www.aristoteles.cz/matematika/rovnice/goniometricke/goniometricke-vzorce.php Goniometrické vzorce]
 +
* [http://katmat.tf.czu.cz/institut/derivace/der-vz.htm Vzorce pro derivace]
 +
* [http://katmat.tf.czu.cz/institut/integral/int-vz.htm Vzorce pro integrál]
 +
* [http://wiki.matweb.cz/index.php/Limity Limity]
 +
</div>

Aktuální verze z 27. 11. 2013, 19:33

Budiž zde dána jednoduchá "kuchařka" na úpravu vzorců, na kterou bude možno odkazovat.

V následujícím textu je n číslo přirozené, zatímco a,b mohou být čísla libovolná (reálná, komplexní, z okruhu LaTeX: \mathbb{Z}_7,... )

(1.1) LaTeX: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(1.2) LaTeX: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(1.3) LaTeX: (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

(1.4) LaTeX: (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

(1.5) LaTeX: (a+b)^n=a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots+{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+b^n

(1.6) LaTeX: (a-b)^n=a^n-{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2-\cdots+(-1)^{n-1}{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+(-1)^{n}b^n

(vznikne z 1.5 náhradou b za -b; to se projeví změnou znamének sčítanců na sudých pozicích zleva)


(2.0) LaTeX: a^2+b^2=(a-ib)(a+ib)

(2.1) LaTeX: a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(2.1a) LaTeX: a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b} (jde o často používanou obměnu vzorce (2.1))

(2.3) LaTeX: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

(2.2) LaTeX: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

(2.4) LaTeX: a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)

(2.5) LaTeX: a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b^1+a^{n-3}b^2+\cdots+b^{n-1})

(2.6) Pro lichá k: LaTeX: a^k+b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+a^{k-3}b^2-\cdots+b^{k-1})

(2.7) Pro sudá k: LaTeX: a^k-b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+\cdots-b^{k-1})

(2.8) LaTeX: a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)


Následující vzorce platí pro kladné p a libovolná a,b; pro záporné p platí jen pro a,b přirozená (případně racionální s lichým jmenovatelem). Pokud se pohybujeme v komplexních číslech, pak p může být libovolné komplexní číslo a a,b libovolná reálná (o rozšíření na komplexní a,b je předpokládám zbytečné psát).

(3.1) LaTeX: p^{ab}=(p^a)^b

(3.2) LaTeX: p^{a+b}=p^a\cdot p^b

(3.3) LaTeX: p^{a-b}=\frac{p^a}{p^b}

(3.4) LaTeX: p^{\frac{a}{n}}=\sqrt[n]{p^a}


Tady LaTeX: p, q, z, x > 0; \, z, x \neq 1; \, a \in \mathbb{R} a LaTeX: e je Eulerovo číslo.

(4.1) LaTeX: \ln(p)=\log_e(p)

(4.2) LaTeX: \log_z(pq)=\log_z(p)+\log_z(q)

(4.3) LaTeX: \log_z(\frac{p}{q})=\log_z(p)-\log_z(q)

(4.4) LaTeX: \log_z(p^a)=a\cdot\log_z(p)

(4.5) LaTeX: \log_z(p)=\frac{\log_x p}{\log_x z}


(5.1) LaTeX: \sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}

(5.2) LaTeX: \sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

(5.3) LaTeX: \sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}

Hodit se mohou také