Rozklad polynomu čtvrtého stupně

Z MatWiki

(Rozdíly mezi verzemi)
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: {{zadani|text=Rozložte na součin ireducibilních polynomů s reálnými koeficienty <math>x^4+x^2+3</math>}} ==Řešení soustavou rovnic== Pro reálné x je hodnota pol…)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{zadani|text=Rozložte na součin ireducibilních polynomů s reálnými koeficienty <math>x^4+x^2+3</math>}}
+
{{zadání|text=Rozložte na součin ireducibilních polynomů s reálnými koeficienty <math>x^4+x^2+3</math>}}
==Řešení soustavou rovnic==
==Řešení soustavou rovnic==
Řádka 13: Řádka 13:
Z první rovnice c=-a, ze třetí pak a(b-d)=0. Nyní máme dvě možnosti:
Z první rovnice c=-a, ze třetí pak a(b-d)=0. Nyní máme dvě možnosti:
* a=0 vede na b+d=1, z poslední rovnice b(1-b)=3, což nemá reálné řešení. P
* a=0 vede na b+d=1, z poslední rovnice b(1-b)=3, což nemá reálné řešení. P
-
* b-d=0 dá ze třetí rovnice <math>b=d=\pm\sqrt{3}</b>, ze druhé rovnice pak <math>a^2=2b-1</math>, možnost <math>b=-\sqrt{3}</math> lze vyloučit. Pro <math>b=\sqrt3</math> dokončíme rozklad
+
* b-d=0 dá ze třetí rovnice <math>b=d=\pm\sqrt{3}</math>, ze druhé rovnice pak <math>a^2=2b-1</math>, možnost <math>b=-\sqrt{3}</math> lze vyloučit. Pro <math>b=\sqrt3</math> dokončíme rozklad
 +
<math>x^{4}+x^{2}+3= (x^2 + x\sqrt{2\sqrt3 -1} + \sqrt3 )(x^2 -x\sqrt{2\sqrt3 -1}+ \sqrt3 )</math>
 +
 
 +
==Řešení substitucí==
 +
Položíme <math>y=x^2</math>, pak kořeny polynomu <math>y^2+y+3</math> jsou <math>z_1=\frac{1+\sqrt{11}i}2</math>, <math>z_2=\frac{1-\sqrt{11}i}2</math>.
 +
V komplexním oboru lze polynom rozložit na <math>(x-\sqrt{z_1})(x-\sqrt{z_2})(x+\sqrt{z_1})(x+\sqrt{z_2})</math>. Protože jsou <math>z_1</math> a <math>z_2</math> čísla sdružená, jsou sdružené i jejich odmocniny a polynom lze psát jako
 +
<math>(x^2-(\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2})x+\sqrt{z_1z_2})(x^2+(\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2})x+\sqrt{z_1z_2})</math>
 +
Z Vietových vztahů víme, že <math>z_1z_2=1</math>. Zbývá tedy vyčíslit <math>\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2}=2Re(\sqrt{z_1})</math>. K tomu lze použít soustavu rovnic. Dojdeme ke stejnému výsledku jako výše.

Verze z 8. 3. 2014, 14:43

Zadání:Rozložte na součin ireducibilních polynomů s reálnými koeficienty LaTeX: x^4+x^2+3


Zdroj: {{{zdroj}}}

Řešení soustavou rovnic

Pro reálné x je hodnota polynomu vždy kladná, polynom nemá reálné kořeny a proto v rozkladu nebude žádný lineární polynom. Hledáme tedy koeficienty a, b, c,d, pro které LaTeX: (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^2+3 Porovnáním koeficientů

c+a=0 d+ac+b=1 ad+bc=0 bd=3

Z první rovnice c=-a, ze třetí pak a(b-d)=0. Nyní máme dvě možnosti:

  • a=0 vede na b+d=1, z poslední rovnice b(1-b)=3, což nemá reálné řešení. P
  • b-d=0 dá ze třetí rovnice LaTeX: b=d=\pm\sqrt{3}, ze druhé rovnice pak LaTeX: a^2=2b-1, možnost LaTeX: b=-\sqrt{3} lze vyloučit. Pro LaTeX: b=\sqrt3 dokončíme rozklad

LaTeX: x^{4}+x^{2}+3= (x^2 + x\sqrt{2\sqrt3 -1} + \sqrt3 )(x^2 -x\sqrt{2\sqrt3 -1}+ \sqrt3 )

Řešení substitucí

Položíme LaTeX: y=x^2, pak kořeny polynomu LaTeX: y^2+y+3 jsou LaTeX: z_1=\frac{1+\sqrt{11}i}2, LaTeX: z_2=\frac{1-\sqrt{11}i}2. V komplexním oboru lze polynom rozložit na LaTeX: (x-\sqrt{z_1})(x-\sqrt{z_2})(x+\sqrt{z_1})(x+\sqrt{z_2}). Protože jsou LaTeX: z_1 a LaTeX: z_2 čísla sdružená, jsou sdružené i jejich odmocniny a polynom lze psát jako LaTeX: (x^2-(\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2})x+\sqrt{z_1z_2})(x^2+(\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2})x+\sqrt{z_1z_2}) Z Vietových vztahů víme, že LaTeX: z_1z_2=1. Zbývá tedy vyčíslit LaTeX: \sqrt{z_1}+\sqrt{z_2}=2Re(\sqrt{z_1}). K tomu lze použít soustavu rovnic. Dojdeme ke stejnému výsledku jako výše.