Rozklad polynomu čtvrtého stupně

Z MatWiki

(Rozdíly mezi verzemi)
Přejít na: navigace, hledání
Kondr (diskuse | příspěvky)
(Založena nová stránka: {{zadani|text=Rozložte na součin ireducibilních polynomů s reálnými koeficienty <math>x^4+x^2+3</math>}} ==Řešení soustavou rovnic== Pro reálné x je hodnota pol…)
Porovnání s novější verzí →

Verze z 8. 3. 2014, 14:26

Šablona:Zadani

Řešení soustavou rovnic

Pro reálné x je hodnota polynomu vždy kladná, polynom nemá reálné kořeny a proto v rozkladu nebude žádný lineární polynom. Hledáme tedy koeficienty a, b, c,d, pro které LaTeX: (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^2+3 Porovnáním koeficientů

c+a=0 d+ac+b=1 ad+bc=0 bd=3

Z první rovnice c=-a, ze třetí pak a(b-d)=0. Nyní máme dvě možnosti:

  • a=0 vede na b+d=1, z poslední rovnice b(1-b)=3, což nemá reálné řešení. P
  • b-d=0 dá ze třetí rovnice LaTeX: b=d=\pm\sqrt{3}</b>, ze druhé rovnice pak <math>a^2=2b-1, možnost LaTeX: b=-\sqrt{3} lze vyloučit. Pro LaTeX: b=\sqrt3 dokončíme rozklad