Rovnice x^3=i

Z MatWiki

(Rozdíly mezi verzemi)

Přejít na: navigace, hledání

Verze z 31. 8. 2010, 12:41

Obsah

1 Zadání
2 Řešení
- 2.1 Převedením na goniometrický tvar
- 2.2 Rozkladem pomocí algebraických vzorců

Zadání

V množině komplexních čísel řešte rovnici $LaTeX: x^3=i.$

Řešení

Převedením na goniometrický tvar

Jednou z možností, jak řešit binomickou rovnici, je převedení pravé strany na goniometrický tvar.

$LaTeX: i=1\left(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\right)$

Podle vztahu, který je uvedený zde, je

$LaTeX: x_k=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac\pi2+2k\pi}3+i\sin\frac{\frac\pi2+2k\pi}3\right)\quad k\in\{0,\ 1,\ 2\}$

Dopočítáme jednotlivé kořeny a dostaneme

$LaTeX: \parstyle\begin{array}{rclcl}x_0&=&\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6&=&\displaystyle\frac{\sqrt3+i}2\\ \\x_1&=&\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6&=&\frac{-\sqrt3+i}2\\ \\x_2&=&\cos\frac{3\pi}2+i\sin\frac{3\pi}2&=&-i\end{array}$

Rozkladem pomocí algebraických vzorců

Rovnici převedem na tvar

$LaTeX: x^3-i=0.$

Nyní využijeme identity $LaTeX: i^3=-i$ a dostaneme

$LaTeX: x^3+i^3=0.$

Dále použijeme vzorec $LaTeX: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}(x+i)(x^2-xi+i^2)&=&0\\x_1=-i&\vee&x^2-ix-1=0\end{eqnarray*}$

Rovnici $LaTeX: x^2-ix-1=0$ vyřešíme pomocí diskriminantu.

$LaTeX: D=(-i)^2+4=3$

$LaTeX: x_{2,3}=\frac{i\pm\sqrt3}2$

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 ==Zadání==
-V množině {{w|komplexní číslo|komplexních}} čísel řešte rovnici <math>x^3=i</math>
+V množině {{w|komplexní číslo|komplexních}} čísel řešte rovnici <math>x^3=i.</math>
 ==Řešení==
 ===Převedením na goniometrický tvar===

Rovnice x^3=i

Z MatWiki

Verze z 31. 8. 2010, 12:41

Obsah

Zadání

Řešení

Převedením na goniometrický tvar

Rozkladem pomocí algebraických vzorců

Zobrazení

Osobní nástroje

Navigace

Hledat

Nástroje