Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Rovnice x^3=i – MatWiki

Rovnice x^3=i

Z MatWiki

(Rozdíly mezi verzemi)
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: ==Zadání== V množině {{w|komplexní číslo|komplexních}} čísel řešte rovnici <math>x^3=i.</math> ==Řešení== ===Převedením na goniometrický tvar=== Jednou z …)
Řádka 1: Řádka 1:
==Zadání==
==Zadání==
-
V množině {{w|komplexní číslo|komplexních}} čísel řešte rovnici <math>x^3=i.</math>
+
V množině {{w|komplexní číslo|komplexních}} čísel řešte rovnici <math>x^3=i</math>
==Řešení==
==Řešení==
===Převedením na goniometrický tvar===
===Převedením na goniometrický tvar===

Verze z 31. 8. 2010, 10:11

Obsah

Zadání

V množině komplexních čísel řešte rovnici LaTeX: x^3=i

Řešení

Převedením na goniometrický tvar

Jednou z možností, jak řešit binomickou rovnici, je převedení pravé strany na goniometrický tvar.

LaTeX: i=1\left(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\right)

Podle vztahu, který je uvedený zde, je

LaTeX: x_k=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac\pi2+2k\pi}3+i\sin\frac{\frac\pi2+2k\pi}3\right)\quad k\in\{0,\ 1,\ 2\}

Dopočítáme jednotlivé kořeny a dostaneme

LaTeX: \parstyle\begin{array}{rclcl}x_0&=&\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6&=&\displaystyle\frac{\sqrt3+i}2\\ \\x_1&=&\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6&=&\frac{-\sqrt3+i}2\\ \\x_2&=&\cos\frac{3\pi}2+i\sin\frac{3\pi}2&=&-i\end{array}

Rozkladem pomocí algebraických vzorců

Rovnici převedem na tvar

LaTeX: x^3-i=0.

Nyní využijeme identity LaTeX: i^3=-i a dostaneme

LaTeX: x^3+i^3=0.

Dále použijeme vzorec LaTeX: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}(x+i)(x^2-xi+i^2)&=&0\\x_1=-i&\vee&x^2-ix-1=0\end{eqnarray*}

Rovnici LaTeX: x^2-ix-1=0 vyřešíme pomocí diskriminantu.

LaTeX: D=(-i)^2+4=3
LaTeX: x_{2,3}=\frac{i\pm\sqrt3}2