Příklad 5

Z MatWiki

(Rozdíly mezi verzemi)
Přejít na: navigace, hledání
Zdenek1 (diskuse | příspěvky)
(Založena nová stránka: == Zadání == Zjednodušte pro <math>n\in\mathbb N</math> :<math>\frac{2^{n+3}}{{n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}+\cdots+{n\choose n}}=</math> == Řešení == Protože …)

Aktuální verze z 8. 5. 2012, 14:33

Zadání

Zjednodušte pro LaTeX: n\in\mathbb N

LaTeX: \frac{2^{n+3}}{{n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}+\cdots+{n\choose n}}=

Řešení

Protože

LaTeX: {n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}+\cdots+{n\choose n}=2^n,

o čemž se snadno přesvědčíme, když do binomického rozvoje výrazu LaTeX: (a+b)^n

LaTeX: (a+b)^n={n\choose0}a^nb^0+{n\choose1}a^{n-1}b+{n\choose2}a^{n-2}b^2+\cdots+{n\choose n}a^0b^n

dosadíme LaTeX: a=1, LaTeX: b=1, můžeme výraz upravit

LaTeX: \frac{2^{n+3}}{{n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}+\cdots+{n\choose n}}=\frac{2^{n+3}}{2^n}=2^3=8.