Obsah obrazce mezi křivkami y=sqrt(R^2-x^2) a y=0
Z MatWiki
(Rozdíly mezi verzemi)
(Založena nová stránka: == Zadání == Vypočítejte obsah plochy omezené grafem funkce <math>y=\sqrt{R^2-x^2}</math> a úsečkou na ose <math>x</math> s krajními body <math>x=-R</math> a <math>…) |
|||
| Řádka 4: | Řádka 4: | ||
== Řešení == | == Řešení == | ||
Obsah vypočítáme užitím {{W|Aplikace integrálu|určitého integrálu}}. | Obsah vypočítáme užitím {{W|Aplikace integrálu|určitého integrálu}}. | ||
| - | :<math> S=\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\,\text dx</math> | + | :<math> S=\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\,\text dx</math> [[Soubor:Img0006.JPG|right|obsah obrazce]] |
Integrál vyřešíme pomocí substituce | Integrál vyřešíme pomocí substituce | ||
:<math>\parstyle\begin{eqnarray*}x&=&R\sin t\qquad t\in\left\langle-\frac\pi2;\frac\pi2\right\rangle\\\frac{\text dx}{\text dt}&=&R\cos t \end{eqnarray*}</math> | :<math>\parstyle\begin{eqnarray*}x&=&R\sin t\qquad t\in\left\langle-\frac\pi2;\frac\pi2\right\rangle\\\frac{\text dx}{\text dt}&=&R\cos t \end{eqnarray*}</math> | ||
čímž integrál přejde na tvar | čímž integrál přejde na tvar | ||
| - | :<math>S=\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}</math> | + | :<math>S=\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\sqrt{R^2-R^2\sin^2 t}\cdot R\cos t \,\text dt=R^2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos^2t \,\text dt.</math> |
| + | Když využijeme výsledku [[Integrál cos^2x dx|tohoto příkladu]], vidíme, že | ||
| + | :<math>\parstyle\begin{eqnarray*}S&=&R^2\left[\frac{2t+\sin2t}4 \right]\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\\S&=&R^2\left[\left(\frac{\pi+\sin\pi}4\right)-\left(\frac{-\pi+\sin(-\pi)}4\right)\right]\\S&=&\frac12\pi R^2 \end{eqnarray*}</math> | ||
| + | |||
| + | Výsledek by nás neměl nijak překvapit, jedná se o obsah půlkruhu. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | [[Kategorie:Integrální počet]] | ||
Aktuální verze z 7. 6. 2011, 11:44
Zadání
Vypočítejte obsah plochy omezené grafem funkce a úsečkou na ose
s krajními body
a
.
Řešení
Obsah vypočítáme užitím určitého integrálu.
Integrál vyřešíme pomocí substituce
čímž integrál přejde na tvar
Když využijeme výsledku tohoto příkladu, vidíme, že
Výsledek by nás neměl nijak překvapit, jedná se o obsah půlkruhu.
