Ukázat zdroj

== Zadání ==
Vypočítejte obsah plochy omezené grafem funkce <math>y=\sqrt{R^2-x^2}</math> a úsečkou na ose <math>x</math> s krajními body <math>x=-R</math> a <math>x=R</math>.

== Řešení ==
Obsah vypočítáme užitím {{W|Aplikace integrálu|určitého integrálu}}.
:<math> S=\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\,\text dx</math> [[Soubor:Img0006.JPG|right|obsah obrazce]]
Integrál vyřešíme pomocí substituce
:<math>\parstyle\begin{eqnarray*}x&=&R\sin t\qquad t\in\left\langle-\frac\pi2;\frac\pi2\right\rangle\\\frac{\text dx}{\text dt}&=&R\cos t \end{eqnarray*}</math>
čímž integrál přejde na tvar
:<math>S=\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\sqrt{R^2-R^2\sin^2 t}\cdot R\cos t \,\text dt=R^2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos^2t  \,\text dt.</math>
Když využijeme výsledku [[Integrál cos^2x dx|tohoto příkladu]], vidíme, že
:<math>\parstyle\begin{eqnarray*}S&=&R^2\left[\frac{2t+\sin2t}4 \right]\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\\S&=&R^2\left[\left(\frac{\pi+\sin\pi}4\right)-\left(\frac{-\pi+\sin(-\pi)}4\right)\right]\\S&=&\frac12\pi R^2 \end{eqnarray*}</math>

Výsledek by nás neměl nijak překvapit, jedná se o obsah půlkruhu.



[[Kategorie:Integrální počet]]