Nerovnice abs(x^2-2x) menší než x

Z MatWiki

(Rozdíly mezi verzemi)
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: == Zadání == Řešte nerovnici <math>|x^2-2x|<x</math> v množině reálných čísel. == Řešení == Protože levá strana nerovnice je nezáporná a pravá strana je …)
 
Řádka 9: Řádka 9:
[[Soubor:Img0031.png]]  
[[Soubor:Img0031.png]]  
-
:<math>x\in(1;3)</math>
+
:Výsledek: <math>x\in(1;3)</math>

Aktuální verze z 4. 6. 2012, 12:44

Zadání

Řešte nerovnici LaTeX: |x^2-2x|<x v množině reálných čísel.

Řešení

Protože levá strana nerovnice je nezáporná a pravá strana je větší, musí být pravá strana nerovnice také nezáporná. Jsou tedy obě strany nerovnice nezáporné. V tom případě je umocnění obou stran na druhou ekvivalentní úprava. Můžeme proto psát:

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}|x^2-2x|^2&<&x^2\\(x^2-2x)^2-x^2&<&0\\(x^2-2x-x)(x^2-2x+x)&<&0\\x^2(x-3)(x-1)&<&0\end{eqnarray*}

Nulové body jsou LaTeX: x=0, LaTeX: x=1 a LaTeX: x=3. Určíme znaménka v příslušných intervalech

Soubor:Img0031.png

Výsledek: LaTeX: x\in(1;3)