Nerovnice (x^2+3x-10)/(x-1)leq0
Z MatWiki
m (Editace uživatele „218.76.73.33“ (diskuse) vráceny do předchozího stavu, jehož autorem je „202.108.50.71“) |
(Vrácení do původní podoby) |
||
| Řádka 1: | Řádka 1: | ||
| - | + | ==Zadání== | |
| - | < | + | V množině {{w|reálná čísla|reálných čísel}} řešte nerovnici <math>\frac{x^2+3x-10}{x-1}\leq0.</math> |
| - | + | ==Řešení== | |
| - | </ | + | ===Řešení pomocí nulových bodů a rozdělení reálné osy na intervaly=== |
| - | </ | + | Z vlastností {{w|racionální funkce}} <math>y=\frac{x^2+3x-10}{x-1}</math> plyne, že může změnit znaménko pouze v bodech, kde nabývá nulové hodnoty (nulové body) nebo v bodech, kde není definovaná. Výraz <math>\frac{x^2+3x-10}{x-1}</math> není definovaný pro <math>x=1</math>. Nulové body určíme řešením {{w|kvadratická rovnice|kvadratické rovnice}} <math>x^2+3x-10=0,</math> nejlépe rozložením na součin ([[:Kategorie:Kvadratické rovnice|řešené příklady na kvadratické rovnice]]). Zjistíme, že nerovnici můžeme přepsat do tvaru |
| - | < | + | |
| - | </ | + | :<math>\frac{(x+5)(x-2)}{x-1}\leq0</math> |
| - | < | + | Stačí tedy určit, jaké má funkce <math>y=\frac{(x+5)(x-2)}{x-1}</math> znaménko na intervalech <math>(-\infty,-5),</math> <math>(-5,1),</math> <math>(1,2)</math> a <math>(2,\infty)</math>. Velmi přehledně to můžeme provést pomocí tabulky. |
| - | </a> | + | [[soubor:tabulka.png]] |
| - | + | ||
| - | </ | + | Do prvního sloupce si vypíšeme jednotlivé lineární výrazy a jako poslední celý výraz. Potom v příslušném řádku najdeme znaménka lineárních výrazů v jednotlivých intervalech (dosazením libovolného bodu z tohoto intervalu). Pro větší přehlednost si v řádcích označíme body, ve kterých se mění znaménka. A to tak, že body nepatřící do řešení označíme prázdným kolečkem a body patřící do řešení plným kolečkem. Znaménka výsledného výrazu pak určíme "násobením" znamének ve sloupci podle pravidla |
| + | * '''''mínus krát mínus rovná se plus''''' | ||
| + | * '''''mínus krát plus rovná se mínus''''' | ||
| + | * '''''plus krát plus rovná se plus''''' | ||
| + | |||
| + | Z posledního řádku tabulky pak už přímo vidíme řešení nerovnice | ||
| + | :<math>x\in(-\infty;5\rangle\cup(1;2\rangle.</math> | ||
| + | |||
| + | [[kategorie:Racionální nerovnice]] | ||
Verze z 2. 9. 2010, 22:54
Zadání
V množině reálných čísel řešte nerovnici
Řešení
Řešení pomocí nulových bodů a rozdělení reálné osy na intervaly
Z vlastností racionální funkce plyne, že může změnit znaménko pouze v bodech, kde nabývá nulové hodnoty (nulové body) nebo v bodech, kde není definovaná. Výraz
není definovaný pro
. Nulové body určíme řešením kvadratické rovnice
nejlépe rozložením na součin (řešené příklady na kvadratické rovnice). Zjistíme, že nerovnici můžeme přepsat do tvaru
Stačí tedy určit, jaké má funkce znaménko na intervalech
a
. Velmi přehledně to můžeme provést pomocí tabulky.
Do prvního sloupce si vypíšeme jednotlivé lineární výrazy a jako poslední celý výraz. Potom v příslušném řádku najdeme znaménka lineárních výrazů v jednotlivých intervalech (dosazením libovolného bodu z tohoto intervalu). Pro větší přehlednost si v řádcích označíme body, ve kterých se mění znaménka. A to tak, že body nepatřící do řešení označíme prázdným kolečkem a body patřící do řešení plným kolečkem. Znaménka výsledného výrazu pak určíme "násobením" znamének ve sloupci podle pravidla
- mínus krát mínus rovná se plus
- mínus krát plus rovná se mínus
- plus krát plus rovná se plus
Z posledního řádku tabulky pak už přímo vidíme řešení nerovnice
