Najděte předpis kvadratické funkce určené vrcholem a dalším bodem

Z MatWiki

Verze z 6. 8. 2010, 22:56; Pavel Brožek (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Určete předpis kvadratické funkce, která má vrchol $LaTeX: V[1;12]$ a prochází bodem $LaTeX: A[3;0].$

Řešení

Obecný předpis kvadratické funkce je

$LaTeX: y=ax^2+bx+c,\qquad a\neq0.$

Protože známe jen dva body, můžeme dosazením hodnot do tohoto předpisu získat jen dvě rovnice. Abychom mohli určit všechny tři parametry, potřebujeme ještě další rovnici. Tu získáme z $LaTeX: x$ -ové souřadnice vrcholu.

Pro $LaTeX: x$ -ovou souřadnici vrcholu platí:

$LaTeX: x_V=\frac{-b}{2a}.$

Dostáváme tak soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé $LaTeX: a$ , $LaTeX: b$ , $LaTeX: c$ .

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray}0&=&9a+3b+c\\12&=&a+b+c\\1&=&\frac{-b}{2a}\end{eqnarray}$

Odečtením $LaTeX: (1)-(2)$ a úpravou $LaTeX: (3)$ dostaneme soustavu

$LaTeX: \begin{array}{l}-12=8a+2b\\b=-2a\end{array}\ \Rightarrow\ \begin{array}{l}-6=4a+b\\b=-2a\end{array}\ \Rightarrow\ \begin{array}{l}-6=4a-2a\\b=-2a\end{array}\ \Rightarrow\ \begin{array}{l}a=-3\\b=6\end{array}$