Kvadratická rovnice abs(x-7)^2+2abs(x-7)=24

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici $LaTeX: |x-7|^2+2|x-7|=24.$

Zavedením substituce $LaTeX: a=|x-7|\geq0$ změníme danou rovnici na kvadratickou rovnici, kterou převedeme do základního tvaru.

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}a^2+2a&=&24\\a^2+2a-24&=&0\end{eqnarray*}$

Tuto rovnici vyřešíme například rozkladem na součin.

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}(a+6)(a-4)&=&0\\a_1=-6,& & a_2=4\end{eqnarray*}$

Podmínce $LaTeX: a\geq0$ vyhovuje pouze kořen $LaTeX: a_2$ . Dostáváme tak

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}|x-7|&=&4\\x-7&=&\pm4\\x&=&7\pm4\end{eqnarray*}$

Dopočítáme-li kořeny zvlášť, dostaneme

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x_1&=&7+4=11\\x_2&=&7-4=3.\end{eqnarray*}$