Integrál cos^2x dx

Z MatWiki

Verze z 7. 6. 2011, 08:43; Zdenek1 (diskuse | příspěvky)
(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Vypočítejte

LaTeX: \int \cos^2x\, \text dx.

Řešení

Využitím identity

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\cos 2x&=&2\cos^2x-1\\\cos^2x&=&\frac{1+\cos2x}2\end{eqnarray*}

upravíme integrál na tvar

LaTeX: \int \cos^2x\, \text dx=\int \frac{1+\cos2x}2\, \text dx=\frac12\left(\int \, \text dx+\int\cos2x\, \text dx \right)\qquad(1)

Výpočet prvního integrálu:

LaTeX: \int \, \text dx=x+C_1

Výpočet druhého integrálu: Pomocí substituce LaTeX: t=2x,\qquad \frac{\text dt}{\text dx}=2 dostaneme

LaTeX: \int\cos2x\, \text dx=\frac12\int\cos t\text dt=\frac12\sin t+C_2=\frac12\sin 2x+C_2

Dosazením do LaTeX: (1) dostaneme

LaTeX: \int \cos^2x\, \text dx =\frac12\left(x+C_1+ \frac12\sin 2x+C_2\right)=\frac{2x+\sin2x}4+C