Elipsa určená tečnou a středem

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Obsah

Zadání

Napište rovnici elipsy, která má osy totožné s osami souřadnic, excentricitu LaTeX: e=2 a tečnu LaTeX: t:2x+3y+9=0.

Řešení

1. Elipsa má hlavní poloosu v ose LaTeX: x

Rovnice elipsy bude mít tvar

LaTeX: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, kde LaTeX: b^2=a^2-e^2=a^2-4. Po dosazení dostaneme
LaTeX: \parstyle\begin{equation}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-4}=1\end{equation},

kde LaTeX: a^2\neq0, LaTeX: a^2\neq4. Nyní si z rovnice tečny vyjádříme

LaTeX: y=-\frac{2x+9}3

a dosadíme do rovnice elipsy.

LaTeX: \frac{x^2}{a^2}+\frac{(-2x-9)^2}{9(a^2-4)}=1.
Toto je kvadratická rovnice, která musí mít právě jedno řešení - bod dotyku. Takže její diskriminant musí být roven nule. Rovnici nejprve upravíme na základní tvar.
elipsa
LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{x^2}{a^2}+\frac{(-2x-9)^2}{9(a^2-4)}&=&1\\ 9(a^2-4)x^2+a^2(4x^2+36x+81)&=&9a^2(a^2-4)\\9a^2x^2-36x^2+4a^2x^2+36a^2x+81a^2-9a^2(a^2-4)&=&0\\(13a^2-36)x^2+36a^2x+9a^2(13-a^2)&=&0 \end{eqnarray*}

Diskriminant této rovnice je nula, proto

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac D4=18^2a^4+(13a^2-36)9a^2(13-a^2)&=&0\qquad |:9a^2\\ 36a^2-(169a^2-13a^4-13\cdot36+36a^2)&=&0\qquad :13\\a^4-13a^2+36&=&0\\(a^2-4)(a^2-9)&=&0\\a^2&=&9 \end{eqnarray*}

Druhé řešení LaTeX: a^2=4 nevyhovuje, protože v rovnici LaTeX: (1) musí být LaTeX: a^2\neq4.

Dosazením do rovnice LaTeX: (1) dostaneme rovnici elipsy

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9-4}&=&1\\\mathcal E:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}&=&1 \end{eqnarray*}.

2. Elipsa má hlavní poloosu na ose LaTeX: y

V tomto případě bude hlavní poloosa LaTeX: b. LaTeX: a^2=b^2-e^2=b^2-4. Po dosazení do rovnice elipsy dostaneme

LaTeX: \parstyle\setcounter{equation}{1}\begin{equation}\frac{x^2}{b^2-4}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{equation},
kde LaTeX: b^2\neq0, LaTeX: b^2\neq4. Další postup bude stejný jako v první části.
elipsa
LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{x^2}{b^2-4}+\frac{(-2x-9)^2}{9b^2}&=&1\\ 9b^2x^2+(b^2-4)(4x^2+36x+81)&=&9b^2(b^2-4)\\9b^2x^2+4b^2x^2+36b^2x+81b^2-16x^2-4\cdot36x-4\cdot81-9b^2(b^2-4)&=&0\\(13b^2-16)x^2+36(b^2-4)x+9(13b^2-b^4-36)&=&0 \end{eqnarray*}

Diskriminant této rovnice je nula, proto

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac D4=18^2(b^2-4)^2-9(13b^2-16)(13b^2-b^4-36)&=&0\qquad |:9\\36(b^2-4)^2+(13b^2-16)(b^2-4)(b^2-9)&=&0\qquad |:(b^2-4)\\36(b^2-4)+(13b^2-16)(b^2-9)&=&0\\36b^2-144+13b^4-117b^2-16b^2+144&=&0\\13b^4-97b^2&=&0\qquad |:b^2\\13b^2&=&97\\b^2&=&\frac{97}{13} \end{eqnarray*}

Dosazením do rovnice LaTeX: (2) dostaneme rovnici elipsy

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{x^2}{\frac{97}{13}-4}+\frac{y^2}{\frac{97}{13}}&=&1\\\mathcal E:\frac{x^2}{\frac{45}{13}}+\frac{y^2}{\frac{97}{13}}&=&1 \end{eqnarray*}.