Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Určete koeficient v binomickém rozvoji – MatWiki

Určete koeficient v binomickém rozvoji

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Určete koeficient u LaTeX: x^{-6} v binomickém rozvoji výrazu LaTeX: \left(\sqrt[3]x-\frac2x\right)^{10}, kde LaTeX: x\neq0.

Řešení

Podle binomické věty bude mít příslušný člen tvar

LaTeX: {n\choose k}a^{n-k}b^k=Ax^{-6},

kde LaTeX: A je hledaný koeficient.

Podle zadání je: LaTeX: n=10,\quad a=\sqrt[3]x,\quad b=-\frac2x.

Dosazením dostaneme rovnici

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray}{10\choose k}(\sqrt[3]x)^{10-k}\left(-\frac2x\right)^k&=&Ax^{-6}.\end{eqnarray}

Protože konstanty nijak neovlivňují exponenty u LaTeX: x, můžeme porovnáním těchto exponentů vypočítat hodnotu LaTeX: k.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{10-k}3-k&=&-6\\10-4k&=&-18\\-4k&=&-28\\k&=&7\end{eqnarray*}

Zpětným dosazením do (1) dosatneme

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}{10\choose 7}(\sqrt[3]x)^{10-7}\left(-\frac2x\right)^7&=&Ax^{-6}\\{10\choose 7}(-2)^7&=&A\\A&=&-15360.\end{eqnarray*}