Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Určete délku křivky dané parametricky – MatWiki

Určete délku křivky dané parametricky

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Určete délku křivky LaTeX: k dané parametricky: LaTeX: k:\begin{cases}x=t\cos t-\sin t,\\ \ y=t\sin t+\cos t\end{cases}\ t\in\langle-\pi;\pi\rangle

Řešení

Délka rovinné křivky se vypočítá podle vztahu

LaTeX: l = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}\right)}^2}\mathrm{d}t,

kde LaTeX: x=\phi(t) a LaTeX: y=\psi(t). Nejprve proto vypočítáme příslušné derivace

LaTeX: \frac{\text d\phi}{\text d t}=\cos t -t\sin t-\cos t=-t\sin t,\qquad \frac{\text d\psi}{\text d t}=\sin t +t\cos t-\sin t=t\cos t

Nyní už zbývá jen vypočítat integrál

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}l&=&\int\limits_{-\pi}^\pi\sqrt{(-t\sin t)^2+(t\cos t)^2}\ \text dt\\ l&=&\int\limits_{-\pi}^\pi\sqrt{t^2}\ \text dt\\ l&=&\int\limits_{-\pi}^\pi|t|\ \text dt=2\int\limits_0^\pi t\ \text dt\\l&=&[t^2]\limits_0^\pi=\pi^2\end{eqnarray*}