Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Tečna ke kružnici x^2+y^2+4x+6y-12=0 z vnějšího bodu A(5,-2) – MatWiki

Tečna ke kružnici x^2+y^2+4x+6y-12=0 z vnějšího bodu A(5,-2)

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Obsah

Zadání

Určete tečny ke kružnici LaTeX: k:x^2+y^2+4x+6y-12=0, které procházejí bodem LaTeX: A[5;-2].

Řešení

Obecné řešení

Můžeme předpokládat, že tečna má rovnici LaTeX: t:y=kx+q. (Mohl by sice nastat případ, že jedna z tečen bude rovnoběžná s osou y a nepůjde ji zapsat ve směrnicovém tvaru, pokud by však takový případ nastal, dostali bychom následujícím postupem pouze druhou tečnu, kterou ve směrnicovém tvaru zapsat lze. Tečna rovnoběžná s osou y by pak měla rovnici LaTeX: x=c, kde LaTeX: c je neznámá konstanta, kterou bychom ještě museli určit.) Protože tečna prochází bodem LaTeX: A, musí platit

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}-2&=&5k+q\\q&=&-2-5k\end{eqnarray*}

Tečna má s kružnicí společný právě jeden bod, a proto musí mít soustava

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x^2+y^2+4x+6y-12&=&0\\y&=&kx+q\end{eqnarray*}

jediné řešení.

Dosadíme LaTeX: y do kvadratické rovnice a po úpravě dostaneme

LaTeX: (k^2+1)x^2+2(kq+3k+2)x+q^2+6q-12=0.

Diskriminant této kvadratické rovnice musí být nula.

LaTeX: \frac{D}{4}=(kq+3k+2)^2-(k^2+1)(q^2+6q-12)=0.

Nyní dosadíme LaTeX: q=-2-5k a upravíme. Řešíme kvadratickou rovnici pro LaTeX: k.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}12k^2-7k-12&=&0\\(3k-4)(4k+3)&=&0\\k_1&=&\frac{4}{3}\\k_2&=&-\frac{3}{4}\end{eqnarray*}

Nakonec dopočítáme

LaTeX: q_1=-\frac{26}{3} a LaTeX: q_2=\frac{7}{4}.

Rovnice tečen jsou

LaTeX: t_1:y=\frac{4}{3}x-\frac{26}{3}

a

LaTeX: t_2:y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}.


Jiný způsob

1. Převedeme rovnici kuželosečky na středový tvar

LaTeX: x^2+y^2+4x+6y-12=0

LaTeX: (x+2)^2+(y+3)^2-4-9-12=0

LaTeX: (x+2)^2+(y+3)^2=25


2. Pro přímku, která prochází tečnými body platí:

LaTeX: (x_0-m)(x-m)+(y_0-n)(y-n)=r^2


kde: LaTeX: m,n jsou souřadnice středu kuželosečky a LaTeX: x_0, y_0 jsou souřadnice vnějšího bodu, kterým mají procházet tečny tedy:

pro LaTeX: S=[-2;\,-3] a LaTeX: A=[5;\,-2] dostaneme

LaTeX: (5+2)(x+2)+(-2+3)(y+3)=25

LaTeX: 7x+y-8=0 (1)

Souřadnice tečných bodů budou průsečíky kuželosečky s přímkou

z rovnice (1) LaTeX: y=8-7x dosadíme do rovnice kružnice

LaTeX: (x+2)^2+(8-7x+3)^2=25 úpravou dostaneme:

LaTeX: x^2-3x+2=0

LaTeX: x_1=2\quad x_2=1

Dopočteme y-ové souřadnice tečných bodů

LaTeX: y=8-7x\quad y_1=8-7\cdot2=-6

LaTeX: y=8-7x\quad y_2=8-7\cdot1=1

Tečné body

LaTeX: T_1=(2;\,-6)

LaTeX: T_2=(1;\,1)


3. Určíme rovnice tečen jako přímku, která prochází dvěma body A a T_1 resp. A a T_2

Pro A T_1 je směrový vektor přímky:

LaTeX: \vec{u}=(5-2;\,-2+6)=(3;\,4)

Normálový vektor tečny:

LaTeX: \vec{u_1}=(4;\,-3)

Rovnice tečny bude mít tvar:

LaTeX: 4x-3y+c=0 dosazením souřadnic bodu A dopočteme c

LaTeX: 4\cdot 5-3(-2)+c=0\quad c=-26


LaTeX: t_1:\,4x-3y-26=0


Pro A T_2 je směrový vektor přímky:

LaTeX: \vec{v}=(5-1;\,-2-1)=(4;\,-3)

Normálový vektor tečny:

LaTeX: \vec{v_1}=(3;\,4)

Rovnice tečny bude mít tvar:

LaTeX: 3x+4y+c=0 dosazením souřadnic bodu A dopočteme c

LaTeX: 3\cdot 5+4(-2)+c=0\quad c=-7


LaTeX: t_2:\,3x+4y-7=0

Rovnice tečen:

LaTeX: t_1:\,4x-3y-26=0

a

LaTeX: t_2:\,3x+4y-7=0

Řešení jen pro kružnice

Při určování tečny můžeme využít toho, že vzdálenost středu kružnice od tečny je LaTeX: r. Nejprve proto najdeme střed a poloměr kružnice.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x^2+y^2+4x+6y-12&=&0\\(x+2)^2+(y+3)^2&=&25\end{eqnarray*}

Kružnice má střed LaTeX: S[-2;-3] a poloměr LaTeX: r=5. Nyní, stejně jako v 1. řešení, budeme předpokládat tečnu ve tvaru LaTeX: y=kx+q, kde LaTeX: q=-2-5k. Obecná rovnice tečny je pak

LaTeX: t:kx-y-5k-2=0.

Pro vzdálenost středu od tečny platí

LaTeX: d(S,t)=5\ \Rightarrow\ \frac{|-2k+3-5k-2|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|1-7k|}{\sqrt{k^2+1}}=5.

Úpravou této rovnice

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{|1-7k|}{\sqrt{k^2+1}}&=&5\\|1-7k|&=&5\sqrt{k^2+1}\\(1-7k)^2&=&25(k^2+1)\\12k^2-7k-12&=&0\end{eqnarray*}

dostaneme stejnou rovnici jako v 1. řešení. Další postup je pak stejný jako v 1. případě.

Poznámky k postupům

První postup je sice delší a početně náročnější, ale je obecný a dá se použít u všech kuželoseček.

Druhý postup je kratší, ale dá se použít jen pro kružnici.