Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Rozklad polynomu čtvrtého stupně – MatWiki

Rozklad polynomu čtvrtého stupně

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání:Rozložte na součin ireducibilních polynomů s reálnými koeficienty LaTeX: x^4+x^2+3


Zdroj: Vlákno polynom na Matematickém fóru.

Řešení soustavou rovnic

Pro reálné x je hodnota polynomu vždy kladná, polynom nemá reálné kořeny a proto v rozkladu nebude žádný lineární polynom. Hledáme tedy koeficienty a, b, c,d, pro které LaTeX: (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^2+3 Porovnáním koeficientů

c+a=0 d+ac+b=1 ad+bc=0 bd=3

Z první rovnice c=-a, ze třetí pak a(b-d)=0. Nyní máme dvě možnosti:

  • a=0 vede na b+d=1, z poslední rovnice b(1-b)=3, což nemá reálné řešení. P
  • b-d=0 dá ze třetí rovnice LaTeX: b=d=\pm\sqrt{3}, ze druhé rovnice pak LaTeX: a^2=2b-1, možnost LaTeX: b=-\sqrt{3} lze vyloučit. Pro LaTeX: b=\sqrt3 dokončíme rozklad

LaTeX: x^{4}+x^{2}+3= (x^2 + x\sqrt{2\sqrt3 -1} + \sqrt3 )(x^2 -x\sqrt{2\sqrt3 -1}+ \sqrt3 )

Řešení substitucí

Položíme LaTeX: y=x^2, pak kořeny polynomu LaTeX: y^2+y+3 jsou LaTeX: z_1=\frac{1+\sqrt{11}i}2, LaTeX: z_2=\frac{1-\sqrt{11}i}2. V komplexním oboru lze zadaný polynom rozložit na LaTeX: (x^2-z_1)(x^2-z_2)=(x-\sqrt{z_1})(x+\sqrt{z_1})(x-\sqrt{z_2})(x+\sqrt{z_2}). Protože jsou LaTeX: z_1 a LaTeX: z_2 čísla sdružená, jsou sdružené i jejich odmocniny a polynom lze psát jako LaTeX: (x^2-(\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2})x+\sqrt{z_1z_2})(x^2+(\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2})x+\sqrt{z_1z_2}) Z Vietových vztahů víme, že LaTeX: z_1z_2=3. Zbývá tedy vyčíslit LaTeX: \sqrt{z_1}+\sqrt{z_2}=2Re(\sqrt{z_1}). K tomu lze použít soustavu rovnic. Dojdeme ke stejnému výsledku jako výše.