Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Rovnice tečny ke křivce – MatWiki

Rovnice tečny ke křivce

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Obsah

Zadání

Určete rovnici tečny ke křivce LaTeX: \mathcal K:x^2+y^2-xy-7=0 v bodě dotyku LaTeX: T[2;y_0],\ y_0>0.

Řešení

Nejprve určíme souřadnici LaTeX: y_0 dosazením LaTeX: x=2 do rovnice křivky LaTeX: \mathcal K.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}4+y_0^2-2y_-7&=&0\\y_0^2-2y_0-3&=&0\\(y_0-3)(y_0+1)&=&0 \end{eqnarray*}

Podmínce LaTeX: y_0>0 vyhovuje pouze řešení LaTeX: y_0=3. Bod dotyku je tedy LaTeX: T[2;3].

Bez derivací

Rovnici tečny budeme hledat ve tvaru LaTeX: t:y=kx+q. Protože tečna prochází bodem LaTeX: T, musí platit

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}3&=&2k+q\\q&=&3-2k\end{eqnarray*}
Tečna má s křivkou společný právě jeden bod, a proto musí mít soustava
LaTeX: \begin{cases}x^2+y^2-xy-7=0\\y=kx+q\end{cases}

jediné řešení.

Dosadíme LaTeX: y do kvadratické rovnice a po úpravě dostaneme

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x^2+(kx+q)^2-x(kx+q)-7&=&0\\(k^2-k+1)x^2+(2kq-q)x+q^2-7&=&0\end{eqnarray*}

Diskriminant této kvadratické rovnice musí být nula.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}D=(2kq-q)^2-4(k^2-k+1)(q^2-7)&=&0\\4k^2q^2-4kq^2+q^2-4(k^2q^2-kq^2+q^2-7k^2+7k-7)&=&0\\-3q^2+28k^2-28k+28&=&0\end{eqnarray*}

Dosadíme LaTeX: q=3-2k.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}-3(3-2k)^2+28k^2-28k+28&=&0\\-27+36k-12k^2+28k^2-28k+28&=&0\\16k^2+8k+1&=&0\\(4k+1)^2&=&0\\k&=&-\frac14\end{eqnarray*}

Dopočítáme LaTeX: q.

LaTeX: q=3-2k=3+\frac24=\frac{14}4

Rovnice tečny je LaTeX: t:y=\frac{14-x}{4}.

Derivace implicitně zadané funkce

Derivací implicitně zadané funkce LaTeX: \mathcal K podle LaTeX: x dostaneme

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x^2+y^2-xy-7&=&0\\2x+2yy'-y-xy'&=&0\\y'&=&\frac{y-2x}{2y-x} \end{eqnarray*}

Rovnice tečny je:

LaTeX: y-y_0=y'(x_0;y_0)(x-x_0).

Dosazením:

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}y-3&=&\frac{3-4}{6-2}(x-2)\\y&=&-\frac x4+\frac72\end{eqnarray*}

Rovnice tečny je LaTeX: t:y=-\frac x4+\frac72.