Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Rovnice sqrt(2)cos(x)-cotg(x)-sqrt(2)sin(x)+1=0 – MatWiki

Rovnice sqrt(2)cos(x)-cotg(x)-sqrt(2)sin(x)+1=0

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici

LaTeX: \sqrt2\cos x-\cot x-\sqrt2\sin x+1=0.

Řešení

Aby rovnice měla smysl, musí platit LaTeX: \sin x\neq0. Za této podmínky rovnici upravíme.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\sqrt2\cos x-\sqrt2\sin x-\frac{\cos x}{\sin x}+1&=&0\\\sqrt2(\cos x-\sin x)-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x}&=&0\\(\cos x-\sin x)\left(\sqrt2-\frac{1}{\sin x}\right)&=&0 \end{eqnarray*}

Tento součin je nula, pokud LaTeX: \cos x-\sin x=0 nebo LaTeX: \sqrt2-\frac{1}{\sin x}=0.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\cos x-\sin x&=&0\\\tan x&=&1\\ x_1&=&\frac\pi4+k\pi,\ k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}
LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\sqrt2-\frac{1}{\sin x}&=&0\\\sin x&=&\frac{\sqrt2}2\\x_2=\frac\pi4+2k\pi\quad&\vee&\quad x_3=\frac{3\pi}4+2k\pi,\ k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}

Řešení LaTeX: x_2 je již obsaženo v LaTeX: x_1, takže ho nemusíme uvádět.

LaTeX: x_1=\frac\pi4+k\pi,\ k\in\mathbb Z\qquad x_2=\frac{3\pi}4+2k\pi,\ k\in\mathbb Z