Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Rovnice sin^4x-cos^4x=sin4x – MatWiki

Rovnice sin^4x-cos^4x=sin4x

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici LaTeX: \sin^4x-\cos^4x=\sin4 x.

Řešení

Pomocí vztahu LaTeX: a^2-b^2=(a-b)(a+b) rovnici upravíme.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\sin^4x-\cos^4x&=&\sin4 x\\ \underbrace{(\sin^2x-\cos^2x)}_{-\cos2x}\underbrace{(\sin^2x+\cos^2x)}_1&=&2\sin2x\cos2x\\-\cos2x&=&2\sin2x\cos2x\\\cos2x(2\sin2x+1)&=&0    \end{eqnarray*}

Tento součin je nula, pokud LaTeX: \cos2x=0 nebo LaTeX: 2\sin2x+1=0.


LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\cos2x&=&0\\2x&=&\frac\pi2+k\pi\\x_1&=&\frac\pi4+k\frac\pi2;\ k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}



LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}2\sin2x+1&=&0\\\sin2x&=&-\frac12\\2x=\frac{7\pi}6+2k\pi\quad&\vee&\quad 2x=\frac{11\pi}6+2k\pi\\x_2=\frac{7\pi}{12}+k\pi\quad&\vee&\quad x_3=\frac{11\pi}{12}+k\pi;\ k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}