Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Rovnice abs(x)*x-2sqrt(2)x+2=0 – MatWiki

Rovnice abs(x)*x-2sqrt(2)x+2=0

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Řešte rovnici

LaTeX: |x|\cdot x-2\sqrt2 x+2=0

v množině reálných čísel.

Řešení

Nejprve určíme nulový bod.

LaTeX: x_0=0

Tento nulový bod rozdělí množinu reálných čísel na dva intervaly LaTeX: I_1=(-\infty;0) a LaTeX: I_2=\langle0;\infty). Rovnici vyřešíme v každém intervalu zvlášť.

  1. LaTeX: x\in I_1. Rovnice bude mít tvar:
    LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}(-x)\cdot x-2\sqrt2x+2&=&0\\x^2+2\sqrt2x-2&=&0\\x^2+2\sqrt2x+2&=&4\\(x+\sqrt2)^2&=&4\\x+\sqrt2&=&\pm2\\x_1=-\sqrt2-2&\vee&x_2=-\sqrt2+2        \end{eqnarray*}
    V intervalu LaTeX: I_1 leží pouze řešení LaTeX: x_1.
  2. LaTeX: x\in I_2. Rovnice bude mít tvar:
    LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x\cdot x-2\sqrt2x+2&=&0\\x^2-2\sqrt2x+2&=&0\\(x-\sqrt2)^2&=&0\\x-\sqrt2&=&0\\x&=&\sqrt2\end{eqnarray*}
    Řešení leží v intervalu LaTeX: I_2.

Rovnice má řešení LaTeX: x_1=-\sqrt2-2 nebo LaTeX: x_2=\sqrt2.