Rovnice abs(x+1)-abs(x-1)=2

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici

LaTeX: |x+1|-|x-1|=2.

Řešení

Najdeme nulové body:

LaTeX: x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1
LaTeX: x-1=0\ \Rightarrow\ x=1.

Tyto body nám rozdělí množinu reálných čísel na tři intervaly

  • LaTeX: I_1=(-\infty;-1)
    LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}-(x+1)+(x-1)&=&2\\-2&=&2\end{eqnarray*}
    LaTeX: \\x\in\emptyset
  • LaTeX: I_2=\langle-1;1)
    LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}(x+1)+(x-1)&=&2\\2x&=&2\\x&=&1\end{eqnarray*}
    Kořen neleží v intervalu LaTeX: I_2.
    LaTeX: x\in\emptyset
  • LaTeX: I_3=\langle1;\infty)
    LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}(x+1)-(x-1)&=&2\\2&=&2\\x&\in&(-\infty;\infty)\end{eqnarray*}
    Řešení je ale průnik s intervalem LaTeX: I_3
LaTeX: x\in I_3\cap(-\infty;\infty)=\langle1;\infty)

Odpověď: Řešením rovnice je každé číslo z intervalu LaTeX: \langle1;\infty).