Rovnice 6^(x+1) + 6^(1-x) = 37

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici

LaTeX: 6^{x+1} + 6^{1-x} = 37.

Řešení

Rovnici upravíme podle pravidel pro počítání s exponenty

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}6\cdot6^x+6\cdot\frac1{6^x}&=&37\\6\cdot(6^x)^2+6&=&37\cdot6^x\end{eqnarray*}

a uděláme substituci LaTeX: 6^x=t>0.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}6t^2-37t+6&=&0\\(6t-1)(t-6)&=&0 \end{eqnarray*}

Rovnice má řešení LaTeX: t_1=\frac16 a LaTeX: t_2=6.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}6^x=\frac16& &6^x=6\\x_1=-1& &x_2=1\end{eqnarray*}

Řešení je LaTeX: x\in\{-1;1\}.