Rovnice 4abs(x+sqrt2)-2abs(x-sqrt2)=x

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici LaTeX: 4|x+\sqrt2|-2|x-\sqrt2|=x.

Řešení

Nejprve určíme nulové body:

LaTeX: x_{01}=-\sqrt2
LaTeX: x_{02}=\sqrt2

Tyto body nám množinu reálných čísel rozdělí na tři intervaly, v nichž budeme rovnici postupmě řešit.

  • LaTeX: I_1=(-\infty;-\sqrt2)
    LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}-4(x+\sqrt2)+2(x-\sqrt2)&=&x\\-3x&=&6\sqrt2\\x&=&-2\sqrt2\in I_1\end{eqnarray*}
  • LaTeX: I_2=\langle-\sqrt2;\sqrt2)
    LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}4(x+\sqrt2)+2(x-\sqrt2)&=&x\\5x&=&2\sqrt2\\x&=&\frac{2\sqrt2}5\in I_2\end{eqnarray*}
  • LaTeX: I_3=\langle\sqrt2;\infty)
    LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}4(x+\sqrt2)-2(x-\sqrt2)&=&x\\x&=&-6\sqrt2\not\in I_3\end{eqnarray*}

Rovnice má řešení LaTeX: x\in\left\{-2\sqrt2;\frac{2\sqrt2}5\right\}.