Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Rovnice 3(1/x^2)^2-2/x^2-1=0 – MatWiki

Rovnice 3(1/x^2)^2-2/x^2-1=0

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici

LaTeX: 3\left(\frac1{x^2}\right)^2-\frac2{x^2}-1=0

Řešení

Aby rovnice měla smysl, musí být LaTeX: x\neq0. Za této podmínky můžeme použít substituci

LaTeX: y=\frac1{x^2}>0\qquad (1).

Rovnice tak přejde na tvar

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}3y^2-2y-1&=&0\\3y^2-3y+y-1&=&0\\3y(y-1)+(y-1)&=&0\\(3y+1)(y-1)&=&0 \end{eqnarray*}

Tato rovnice má řešení

LaTeX: y_1=-\frac13\quad\vee\quad y_2=1,

přičemž podmínce LaTeX: (1) vyhovuje pouze kořen LaTeX: y_2. Nyní se vrátíme k původní neznámé.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac1{x^2}&=&1\\x&=&\pm1\end{eqnarray*}

Řešení: LaTeX: x=\pm1