Rovnice 3^(x+2) + 9^(x+1) = 810

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici

LaTeX: 3^{x+2} + 9^{x+1} = 810

Řešení

Rovnici upravíme podle pravidel pro počítání s exponenty

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}9\cdot3^x+9\cdot(3^x)^2&=&810\\(3^x)^2+3^x&=&90\end{eqnarray*}

a uděláme substituci LaTeX: 3^x=t>0.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}t^2+t-90&=&0\\(t+10)(t-9)&=&0\end{eqnarray*}

Rovnice má řešení LaTeX: t=9 (druhý kořen nevyhovuje podmínce LaTeX: t>0).

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}3^x&=&9\\3^x&=&3^2\\x&=&2\end{eqnarray*}