Rovnice 0,5*2^(2x^2-10x+13)+4=10*2^(x^2-5x+5)

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici

LaTeX: 0,5\cdot2^{2x^2-10x+13}+4=10\cdot2^{x^2-5x+5}

Řešení

Zavedeme substituci LaTeX: t=2^{x^2-5x+5}>0. Rovnice tak přejde na tvar

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}0,5\cdot(2^{x^2-5x+5})^2\cdot2^3+4&=&10\cdot2^{x^2-5x+5}\\4t^2+4&=&10t\\2t^2-5t+2&=&0\\(2t-1)(t-2)&=&0\\t_1=\frac12&\vee&t_2=2\end{eqnarray*}

Obě řešení vyhovují. Nyní se vrátíme k původní neznámé.


  • LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}2^{x^2-5x+5}&=&\frac12\\2^{x^2-5x+5}&=&2^{-1}\\x^2-5x+5&=&-1\\x^2-5x+6&=&0\\(x-3)(x-2)&=&0\\x_1=3&\vee&x_2=2\end{eqnarray*}


  • LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}2^{x^2-5x+5}&=&2\\2^{x^2-5x+5}&=&2^{1}\\x^2-5x+5&=&1\\x^2-5x+4&=&0\\(x-4)(x-1)&=&0\\x_3=4&\vee&x_4=1\end{eqnarray*}


Rovnice má řešení LaTeX: x\in\{1,2,3,4\}