Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Rovnice (z-3)^2+(z-i)^2=4 – MatWiki

Rovnice (z-3)^2+(z-i)^2=4

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině komplexních čísel řešte rovnici

LaTeX: (z-3)^2+(z+i)^2=4.

Řešení

Rovnici nejprve upravíme

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}z^2-6z+9+z^2+2iz-1&=&4\\2z^2-2(3-i)z+4&=&0\\z^2-(3-i)z+2&=&0 \end{eqnarray*}

Tuto kvadratickou rovnici vyřešíme pomocí distriminantu.

LaTeX: D=(3-i)^2-4\cdot2=9-6i-1-8=-6i

Nyní využijeme identity

LaTeX: (1-i)^2=-2i

a vyjádříme diskriminant jako

LaTeX: D=3(1-i)^2.

Rovnice má řešení

LaTeX: z_{1,2}=\frac{3-i\pm\sqrt3(1-i)}2,

které můžeme zapsat v algebraickém tvaru

LaTeX: z_1=\frac{3+\sqrt3}2-\frac{\sqrt3+1}2i
LaTeX: z_2=\frac{3-\sqrt3}2+\frac{\sqrt3-1}2i