Rovnice (sqrt3)tan^2(x)+2tan(x)-sqrt3=0

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici LaTeX: \sqrt3\tan^2x+2\tan x-\sqrt3=0.

Řešení

Pomocí substituce LaTeX: \tan x =a převedeme rovnici na kvadratickou rovnici.

LaTeX: \sqrt3a^2+2a-\sqrt3=0

Spočítáme diskriminant

LaTeX: D=2^2-4\sqrt3(-\sqrt3)=16=4^2

a určíme kořeny

LaTeX: a_1=\frac{-2-4}{2\sqrt3}=-\sqrt3\qquad a_2=\frac{-2+4}{2\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}

Nyní se vrátíme k původní proměnné.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\tan x=-\sqrt3&\Rightarrow& x_1=\frac{2\pi}3+k\pi\quad k\in\mathbb Z\\\tan x=\frac1{\sqrt3}&\Rightarrow& x_2=\frac{\pi}6+k\pi\quad k\in\mathbb Z\end{eqnarray*}

Rovnice má řešení

LaTeX: x\in\left\{\frac{2\pi}3+k\pi;\frac{\pi}6+k\pi\right\},\quad k\in\mathbb Z.