Rovnice (-2+x)/sqrt(1+x^2)+a=0

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Řeště rovnici s parametrem LaTeX: a\in\mathbb R a neznámou LaTeX: x\in\mathbb R

LaTeX: \dfrac{-2+x}{\sqrt{1+x^2}}+a=0

Řešení

Jmenovatel rovnice je vždy kladný, takže rovnici můžeme bez újmy na obecnosti upravit na tvar

LaTeX: a\sqrt{1+x^2}=2-x

Nyní potřebujeme obě strany rovnice umocnit. Jedná se o neekvivalentní úpravu, proto řešení rozdělíme na dva případy.

  • LaTeX: a\ge0 (tj. LaTeX: 2-x\ge0\ \Rightarrow\ x\le2) - obě strany rovnice jsou nezáporné a umocnění je korektní úprava.
LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}a^2+a^2x&=&4-4x+x^2\\(a^2-1)x^2+4x+a^2-4&=&0\end{eqnarray*}.
    • LaTeX: a=1

Dostáváme lineární rovnici

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}4x-3&=&0\\x&=&\frac34\end{eqnarray*}
    • LaTeX: a\ne1

Dostáváme kvadratickou rovnici. Aby tato rovnice měla řešení, musí být diskriminant nezáporný.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac D4=4-(a^2-1)(a^2-4)&\ge&0\\a^2(5-a^2)&\ge&0\\a^2&\in&\langle0;5\rangle\\a&\in&\langle0;\sqrt5\rangle\setminus\{1\}\end{eqnarray*}

Řešení rovnice pak můžeme zapsat jako LaTeX: x=\frac{-2\pm a\sqrt{5-a^2}}{a^2-1},když hraniční hodnoty dávají dvojnásobný kořen. Řešení musíme ale otestovat na podmínku LaTeX: x\le2.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{-2\pm a\sqrt{5-a^2}}{a^2-1}&\le&2\\\frac{-2\pm a\sqrt{5-a^2}-2a^2+2}{a^2-1}&\le&0\\\frac{-2a^2\pm a\sqrt{5-a^2}}{a^2-1}&\le&0\end{eqnarray*}

Pro LaTeX: a\in(0;1) je jmenovatel záporný, čitatel tedy musí být nezáporný.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}-2a^2\pm a\sqrt{5-a^2}&\ge&0\\\pm\sqrt{5-a^2}&\ge&2a\end{eqnarray*}

Řešení s "mínusem" evidentně nevyhovuje. Řešení s "plusem" dává (obě strany jsou kladné)

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\sqrt{5-a^2}&\ge&2a\\a^2&\le&1\end{eqnarray*}

což je v pořádku.

Pro LaTeX: a\in(1;\sqrt5) je jmenovatel kladný, čitatel tedy musí být nekladný.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}-2a^2\pm a\sqrt{5-a^2}&\le&0\\\pm\sqrt{5-a^2}&\le&2a\end{eqnarray*}

Řešení s "mínusem" evidentně vyhovuje. Řešení s "plusem" dává (obě strany jsou kladné)

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\sqrt{5-a^2}&\le&2a\\a^2&\ge&1\end{eqnarray*}

což je také v pořádku.

  • LaTeX: a<0 (tj. LaTeX: 2-x<0\ \Rightarrow\ x>2)

Obě strany jsou záporné, proto rovnici nejprve upravíme

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}a\sqrt{1+x^2}&=&2-x\\|a|\sqrt{1+x^2}&=&x-2\end{eqnarray*}

a teprve nyní umocníme

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}a^2+a^2x^2&=&x^2-4x+4\\(a^2-1)x^2+4x+a^2-4&=&0\end{eqnarray*}
    • LaTeX: a=-1
LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}4x-3&=&0\\x&=&\frac34\end{eqnarray*}

rovnice nemá řešení (podmínka LaTeX: x>2)

    • LaTeX: a\ne-1

Dostáváme kvadratickou rovnici. Aby tato rovnice měla řešení, musí být diskriminant nezáporný.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac D4=4-(a^2-1)(a^2-4)&\ge&0\\a&\in&\langle-\sqrt5;0)\setminus\{-1\}\end{eqnarray*}

Řešení rovnice pak můžeme zapsat jako LaTeX: x=\frac{-2\pm |a|\sqrt{5-a^2}}{a^2-1}. Řešení musíme ale otestovat na podmínku LaTeX: x>2.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{-2\pm |a|\sqrt{5-a^2}}{a^2-1}&>&2\\\frac{-2a^2\pm |a|\sqrt{5-a^2}}{a^2-1}&>&0\\\frac{-2|a|\pm \sqrt{5-a^2}}{a^2-1}&>&0\end{eqnarray*}

Pro LaTeX: a\in(-1;0) je jmenovatel záporný, čitatel proto musí být také záporný.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}-2|a|\pm\sqrt{5-a^2}&<&0\\\pm\sqrt{5-a^2}&<&2|a|\end{eqnarray*}

Řešení s "mínusem" evidentně vyhovuje. Řešení s "plusem" dává

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\sqrt{5-a^2}&<&2|a|\\1&<&a^2\\\end{eqnarray*}

což nevyhovuje. Pro LaTeX: a\in(-\sqrt5;-1) je jmenovatel kladný, čitatel proto musí být také kladný.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}-2|a|\pm\sqrt{5-a^2}&>&0\\\pm\sqrt{5-a^2}&>&2|a|\end{eqnarray*}

Řešení s "mínusem" zjevně nevyhovuje. Řešení s "plusem" dává

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\sqrt{5-a^2}&>&2|a|\\1&>&a^2\\\end{eqnarray*}

což také nevyhovuje.

Shrnutí

Pro LaTeX: a\in(-\infty;-1\rangle\cup(\sqrt5;\infty) nemá rovnice řešení
Pro LaTeX: a\in(-1;0) má rovnice jedno řešení, které můžeme zapsat LaTeX: x=\frac{-2-|a|\sqrt{5-a^2}}{a^2-1}.
Pro LaTeX: a\in\langle0;1)\cup\{\sqrt5\} má rovnice jedno řešení, které můžeme zapsat LaTeX: x=\frac{-2+ a\sqrt{5-a^2}}{a^2-1}
Pro LaTeX: a=1 má rovnice jedno řešení LaTeX: x=\frac34
Pro LaTeX: a\in(1;\sqrt5) má rovnice dvě řešení LaTeX: x=\frac{-2\pm a\sqrt{5-a^2}}{a^2-1}