Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Pravidelné spoření – MatWiki

Pravidelné spoření

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Kolik peněz bude mít v bance člověk po 10-ti letech, když tam na začátku každého roku vloží 2000 Kč? Roční úrok je 3 %. Zdanění úroků a bankovní poplatky neuvažujte.

Řešení

Vypíšeme si několik prvních let. Tak zjistíme pravidlo, podle kterého peníze v bance přibývají. Označíme:

LaTeX: V pravidelný vklad
LaTeX: p roční úrok

Na začátku každého roku přibývá vklad, na koci roku přibývají úroky.

rok začátek konec
1. LaTeX: V   LaTeX: V+V\frac p{100}
2. LaTeX: V\left(1+\frac p{100}\right)+V LaTeX: V\left(1+\frac p{100}\right)+V+\left(V\left(1+\frac p{100}\right)+V\right)\frac p{100}=V\left(1+\frac p{100}\right)^2+V\left(1+\frac p{100}\right)
3. LaTeX: V\left(1+\frac p{100}\right)^2+V\left(1+\frac p{100}\right)+V LaTeX: V\left(1+\frac p{100}\right)^2+V\left(1+\frac p{100}\right)+V+\left(V\left(1+\frac p{100}\right)^2+V\left(1+\frac p{100}\right)+V\right)\frac p{100}=
LaTeX: =V\left(1+\frac p{100}\right)^3+V\left(1+\frac p{100}\right)^2+V\left(1+\frac p{100}\right)

Pravidlo, podle kterého peníze přibývají, je zřejmé.

Na konci LaTeX: n-tého roku bude v bance LaTeX: V\left(1+\frac p{100}\right)^n+V\left(1+\frac p{100}\right)^{n-1}+\dots+V\left(1+\frac p{100}\right) korun. Tento výraz ale představuje součet prvních LaTeX: n členů geometrické posloupnosti s kvocientem LaTeX: q=1+\frac p{100} a s prvním členem LaTeX: a_1=V\left(1+\frac p{100}\right).

Součet se tedy rovná

LaTeX: S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}=V\left(1+\frac p{100}\right)\frac{\left(1+\frac p{100}\right)^n-1}{\left(1+\frac p{100}\right)-1}=V\left(1+\frac p{100}\right)\frac{\left(1+\frac p{100}\right)^n-1}{\frac p{100}}

Číselně pro zadané hodnoty: LaTeX: S_{10}=2000\cdot1,03\cdot\frac{(1,03)^{10}-1}{0,03}=23\,615,6.

Po deseti letech bude v bance 23 615,6 Kč.