Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Obsah obrazce mezi kružnicí a parabolou – MatWiki

Obsah obrazce mezi kružnicí a parabolou

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Určete obsah plochy ohraničené kružnicí LaTeX: x^2+y^2=8 a parabolou LaTeX: x^2=2y.

Řešení

Nejprve určíme průsečíky obou křivek. Řešením soustavy

LaTeX: \begin{cases}x^2+y^2=8\\x^2=2y\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}y^2+2y-8=0\\x^2=2y\end{cases}

je LaTeX: [x;y]\in\{[-2;2];[2;2]\}.

Obsah vypočítáme užitím určitého integrálu

LaTeX: S=\int\limits_{-2}^2\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}2\ \text dx=\int\limits_{-2}^2\sqrt{8-x^2}\ \text dx-\int\limits_{-2}^2\frac{x^2}2\ \text dx\qquad(1)

Pro výpočet prvního integrálu využijeme výsledku tohoto příkladu:

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}I_1&=&\int\limits_{-2}^2\sqrt{8-x^2}\ \text dx=8\int\limits_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\cos^2t\ \text dt\\I_1&=&8\left[\frac{2t+\sin2t}4\right]\limits_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\\I_1 &=&8\left[\frac{\frac\pi2+\sin\frac\pi2}{4}-\frac{-\frac\pi2+\sin(-\frac\pi2)}{4}\right]\\I_1&=&4+2\pi\end{eqnarray*}


Výpočet druhého integrálu:

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}I_2&=&\int\limits_{-2}^2\frac{x^2}2\ \text dx\\I_2&=&\left[\frac{x^3}6\right]\limits_{-2}^2\\I_2&=&\frac83\end{eqnarray*}


Dosazením vypočtených hodnot do LaTeX: (1) dostaneme

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}S&=&I_1-I_2\\S&=&4+2\pi-\frac83\\S&=&\frac43+2\pi\end{eqnarray*}