Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Obsah obrazce mezi křivkami y=sqrt(R^2-x^2) a y=0 – MatWiki

Obsah obrazce mezi křivkami y=sqrt(R^2-x^2) a y=0

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Vypočítejte obsah plochy omezené grafem funkce LaTeX: y=\sqrt{R^2-x^2} a úsečkou na ose LaTeX: x s krajními body LaTeX: x=-R a LaTeX: x=R.

Řešení

Obsah vypočítáme užitím určitého integrálu.

LaTeX:  S=\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\,\text dx
obsah obrazce

Integrál vyřešíme pomocí substituce

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x&=&R\sin t\qquad t\in\left\langle-\frac\pi2;\frac\pi2\right\rangle\\\frac{\text dx}{\text dt}&=&R\cos t \end{eqnarray*}

čímž integrál přejde na tvar

LaTeX: S=\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\sqrt{R^2-R^2\sin^2 t}\cdot R\cos t \,\text dt=R^2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos^2t  \,\text dt.

Když využijeme výsledku tohoto příkladu, vidíme, že

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}S&=&R^2\left[\frac{2t+\sin2t}4 \right]\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\\S&=&R^2\left[\left(\frac{\pi+\sin\pi}4\right)-\left(\frac{-\pi+\sin(-\pi)}4\right)\right]\\S&=&\frac12\pi R^2 \end{eqnarray*}

Výsledek by nás neměl nijak překvapit, jedná se o obsah půlkruhu.