Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Obsah obrazce mezi křivkami y=sin(x) a y=cos(x) – MatWiki

Obsah obrazce mezi křivkami y=sin(x) a y=cos(x)

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného křivkami LaTeX: y=\sin x a LaTeX: y=\cos x pro LaTeX: x\in\langle0;\pi\rangle.

Řešení

Obsah vypočítáme užitím určitého integrálu.

Je-li plocha vymezena dvěma křivkami LaTeX: f(x), LaTeX: g(x), přičemž LaTeX: g(x) \leq f(x) na LaTeX: \langle a,b\rangle, pak je její obsah určen vztahem

LaTeX: S = \int\limits_a^b \left[f(x)-g(x)\right]\ \text dx

Protože na celém intervalu LaTeX: \langle0;\pi\rangle není splněna podmínka LaTeX: g(x) \leq f(x), rozdělíme výpočet na dvě části. V daném intervalu se grafy funkcí protínají pro LaTeX: x=\frac\pi4.

  • LaTeX: x\in\left\langle0;\frac\pi4\right\rangle\ \Rightarrow\ \cos x\geq\sin x
LaTeX: S_1 = \int\limits_0^{\frac\pi4} [\cos x-\sin x]\ \text dx=[\sin x+\cos x]_0^{\frac\pi4}=\sqrt2-1
  • LaTeX: x\in\left\langle\frac\pi4;\pi\right\rangle\ \Rightarrow\ \sin x\geq\cos x
LaTeX: S_1 = \int\limits_{\frac\pi4}^\pi [\sin x-\cos x]\ \text dx=[-\cos x-\sin x]_{\frac\pi4}^\pi=\sqrt2+1


LaTeX: S=S_1+S_2=2\sqrt2