Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Objem a povrch válce 1 – MatWiki

Objem a povrch válce 1

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Určete povrch a objem rotačního válce, který je vepsán do koule o poloměru 5 j (jednotek), jestliže obsah pláště válce je roven součtu obsahů obou jeho podstav.

Řešení

Poloměr koule označímě LaTeX: R, poloměr válce LaTeX: r a výšku válce LaTeX: h. Obsah pláště je

LaTeX: Q=2\pi rh

a obsah podstav je

LaTeX: S_p=2\pi r^2.

Porovnáním těchto dvou výrazů zjistíme, že

LaTeX: Q=S_p\ \Rightarrow\ 2\pi rh=2\pi r^2\ \Rightarrow\ h=r.

V pravoúhlém trojúhelníku LaTeX: ASB (obrázek) platí Pythagorova věta

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}R^2&=&r^2+\left(\frac h2\right)^2\\R^2&=&r^2+\left(\frac r2\right)^2\\R^2&=&\frac{5r^2}4\\r&=&\frac{2\sqrt5R}5  \end{eqnarray*}

Povrch válce vypočítáme podle vztahu

LaTeX: P=2\pi r(r+h)=4\pi r^2=4\pi\left(\frac{2\sqrt5R}5\right)^2=\frac{16}5\pi R^2=80\pi\ \text j^2.

Objem válce vypočítáme podle vztahu

LaTeX: V=\pi r^2h=\pi r^3=\pi\left(\frac{2\sqrt5R}5 \right)^3=\frac{8\sqrt5}{25}\pi R^3=40\sqrt5\pi\ \text j^3.