Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Nerovnice sqrt(x^2+x+2)vetsi x-3 – MatWiki

Nerovnice sqrt(x^2+x+2)vetsi x-3

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V oboru reálných čísel řešte nerovnici

LaTeX: \sqrt{x^2+x+2}> x-3.

Řešení

Protože LaTeX: x^2+x+2=x^2+x+\frac14+\frac74=\left(x+\frac12\right)^2+\frac74>0 pro všechna reálná čísla, nerovnice je definovaná v celé množině LaTeX: \mathbb R. Řešení rozdělíme na dva případy.

  • LaTeX: x-3<0
    V tomto případě je levá strana nerovnice kladná a pravá strana je záporná, nerovnice proto platí.
    LaTeX: I_1=(-\infty;3)

  • LaTeX: x-3\geq0
    Obě strany nerovnice jsou nezáporné, nerovnici proto můžeme umocnit.
LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}(\sqrt{x^2+x+2})^2&>&(x-3)^2\\x^2+x+2&>&x^2-6x+9\\7x&>&7\\x&>&1\end{eqnarray*}

Musí tedy platit LaTeX: x\geq3\ \wedge\ x>1\ \Rightarrow\ x\geq3.
LaTeX: I_2=\langle3;\infty)

Řešením nerovnice je LaTeX: I_1\cup I_2=\mathbb R

Nerovnice je splněna pro všechna reálná čísla.