Nerovnice abs(x-6) menší než x^2-5x+9

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Řešte nerovnici

LaTeX: |x-6|<x^2-5x+9

v množině reálných čísel.

Řešení

Protože pravou stranu si můžeme upravit na

LaTeX: x^2-5x+9=x^2-5x+\frac{25}4+\frac{11}4=\left(x-\frac52\right)^2+\frac{11}4,

vidíme, že levá i pravá strana nerovnice je nezáporné. V tom případě je umocnění obou stran na druhou ekvivalentní úprava. Můžeme proto psát:

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}|x-6|^2&<&(x^2-5x+9)^2\\(x-6)^2-(x^2-5x+9)^2&<&0\\(x-6-x^2+5x-9)(x-6+x^2-5x+9)&<&0\\(x^2-6x+15)(x^2-4x+3)&>&0\end{eqnarray*}

První výraz můžeme zapsat

LaTeX: x^2-6x+15=x^2-6x+9+6=(x-3)^2+6>0

Proto musí platit

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x^2-4x+3&>&0\\(x-1)(x-3)&>&0\end{eqnarray*}

Nulové body jsou LaTeX: x=1 a LaTeX: x=3. Určíme znaménka v příslušných intervalech

Soubor:Img0032.png

Výsledek: LaTeX: x\in(-\infty;1)\cup(3;\infty)