Nerovnice abs((x-1)*abs(x+2))/abs(x-2))geq1

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte nerovnici

LaTeX: \left|\frac{|x+2|\cdot(x-1)}{|x-2|}\right|\ge1

Řešení

Aby rovnice měla smysl, musí platit podmínka: LaTeX: x\ne2. S využitím vlastností 3 a 4 pak můžeme nerovnici upravit na

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{||x+2|\cdot(x-1)|}{||x-2||}&\ge&1\\\frac{|x+2|\cdot|x-1|}{|x-2|}&\ge&1\\ \frac{|x^2+x-2|}{|x-2|}&\ge&1 \end{eqnarray*}

Protože výraz ve jmenovateli je kladný, můžeme tímto výrazem vynásobit obě strany nerovnice.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}|x^2+x-2|&\ge&|x-2| \end{eqnarray*}

Nyní obě strany nerovnice umocníme na druhou. Jelikož jsou obě strany nerovnice, úprava je ekvivalentní a nerovnost zůstane zachována.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}|x^2+x-2|^2&\ge&|x-2|^2\\ (x^2+x-2)^2&\ge&(x-2)^2\\ (x^2+x-2)^2-(x-2)^2&\ge&0\qquad\text{vzorec}\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\(x^2+x-2-x+2)(x^2+x-2+x-2)&\ge&0\\x^2(x^2+2x-4)&\ge&0 \end{eqnarray*}

Nyní určíme nulové body.

  • LaTeX: x^2=0\ \Rightarrow\ x=0

  • LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x^2+2x-4&=&0\\x^2+2x+1&=&5\\(x+1)^2&=&5\\x+1&=&\pm\sqrt5\\x&=&-1\pm\sqrt5  \end{eqnarray*}

Vyneseme je na číselnou osu a určíme znaménka v jednotlivých intervalech.

Soubor:Img0023.png

Spolu s počáteční podmínkou dostáváme řešení

LaTeX: x\in(-\infty;-1-\sqrt5\rangle\cup\{0\}\cup\langle-1+\sqrt5;2)\cup(2;\infty)