Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Nerovnice (x^2+3x-10)/(x-1)leq0 – MatWiki

Nerovnice (x^2+3x-10)/(x-1)leq0

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte nerovnici LaTeX: \frac{x^2+3x-10}{x-1}\leq0.

Řešení

Řešení pomocí nulových bodů a rozdělení reálné osy na intervaly

Z vlastností racionální funkce LaTeX: y=\frac{x^2+3x-10}{x-1} plyne, že může změnit znaménko pouze v bodech, kde nabývá nulové hodnoty (nulové body) nebo v bodech, kde není definovaná. Výraz LaTeX: \frac{x^2+3x-10}{x-1} není definovaný pro LaTeX: x=1. Nulové body určíme řešením kvadratické rovnice LaTeX: x^2+3x-10=0, nejlépe rozložením na součin (řešené příklady na kvadratické rovnice). Zjistíme, že nerovnici můžeme přepsat do tvaru

LaTeX: \frac{(x+5)(x-2)}{x-1}\leq0

Stačí tedy určit, jaké má funkce LaTeX: y=\frac{(x+5)(x-2)}{x-1} znaménko na intervalech LaTeX: (-\infty,-5), LaTeX: (-5,1), LaTeX: (1,2) a LaTeX: (2,\infty). Velmi přehledně to můžeme provést pomocí tabulky. soubor:tabulka.png

Do prvního sloupce si vypíšeme jednotlivé lineární výrazy a jako poslední celý výraz. Potom v příslušném řádku najdeme znaménka lineárních výrazů v jednotlivých intervalech (dosazením libovolného bodu z tohoto intervalu). Pro větší přehlednost si v řádcích označíme body, ve kterých se mění znaménka. A to tak, že body nepatřící do řešení označíme prázdným kolečkem a body patřící do řešení plným kolečkem. Znaménka výsledného výrazu pak určíme "násobením" znamének ve sloupci podle pravidla

  • mínus krát mínus rovná se plus
  • mínus krát plus rovná se mínus
  • plus krát plus rovná se plus

Z posledního řádku tabulky pak už přímo vidíme řešení nerovnice

LaTeX: x\in(-\infty;-5\rangle\cup(1;2\rangle.