Nerovnice (x+2)/(x^2-1)leg(2x+3)/(x^2+3x+2)

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte nerovnici LaTeX: \frac{x+3}{x^2-1}\leq\frac{2x+3}{x^2+3x+2}.

Řešení

Nerovnici nejprve upravíme tak, aby na levé straně byl jeden zlomek a na pravé straně byla nula.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{x+3}{x^2-1}&\leq&\frac{2x+3}{x^2+3x+2}\\\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}-\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}&\leq&0\\\frac{(x+3)(x+2)-(2x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}&\leq&0\\\frac{-x^2+4x+9}{(x-1)(x+1)(x+2)}&\leq&0\\\frac{x^2-4x-9}{(x-1)(x+1)(x+2)}&\geq&0\\\frac{(x-2+\sqrt{13})(x-2-\sqrt{13})}{(x-1)(x+1)(x+2)}&\geq&0\end{eqnarray*}

Nulové body a body, kde není nerovnice definovaná, jsou LaTeX: x=-2,, LaTeX: x=\pm1 a LaTeX: x=2\pm\sqrt{13}. Určíme znaménka v příslušných intervalech (obrázek).

Soubor:image0019.png

Výsledek: LaTeX: x\in(-2;2-\sqrt{13}\rangle\cup(-1;1)\cup\langle2+\sqrt{13};\infty)