Nerovnice (abs(x+3)+x)/(x+2)geq1

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte nerovnici LaTeX: \frac{|x+3|+x}{x+2}>1.

Řešení

Nerovnici budeme řešit pomocí nulových bodů. Nejprve ji upravíme tak, aby na pravé straně byla nula.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{|x+3|+x}{x+2}&>&1\\\frac{|x+3|+x}{x+2}-1&>&0\\\frac{|x+3|+x-x-2}{x+2}&>&0\\\frac{|x+3|-2}{x+2}&>&0\end{eqnarray*}

Nyní řešení rozdělíme na dva případy.

  • (a) LaTeX: x\geq-3
LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{(x+3)-2}{x+2}&>&0\\\frac{x+1}{x+2}&>&0\end{eqnarray*}

Nulové body a body, kde není funkce definovaná jsou LaTeX: x=-2 a LaTeX: x=-1. Určíme znaménka v příslušných intervalech.

Soubor:Img0021.png

Spolu s podmínkou (a) musí platit: LaTeX: \begin{cases}x\in(-\infty;-2)\cup(-1;\infty)\\x\in\langle-3;\infty)\end{cases}\ \Rightarrow\ x\in\langle-3;-2)\cup(-1;\infty)

  • (b) LaTeX: x<-3
LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{-(x+3)-2}{x+2}&>&0\\\frac{-x-5}{x+2}&>&0\\\frac{x+5}{x+2}<0\end{eqnarray*}

Nulové body a body, kde není funkce definovaná jsou LaTeX: x=-5 a LaTeX: x=-2. Určíme znaménka v příslušných intervalech.

Soubor:Img0022.png

Spolu s podmínkou (b) musí platit: LaTeX: \begin{cases}x\in(-5;-2)\\x\in(-\infty;-3)\end{cases}\ \Rightarrow\ x\in(-5;-3)

Celkové řešení bude sjednocení řešení (a) a řešení (b)

LaTeX: x\in\langle-3;-2)\cup(-1;\infty)\cup(-5;-3)=(-5;-2)\cup(-1;\infty)

Výsledek: LaTeX: x\in(-5;-2)\cup(-1;\infty)