Nekonečná posloupnost a (n+1)=q*a n+4

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Nekonečná posloupnost LaTeX: (a_n)_{n=1}^\infty, kde LaTeX: n\in\mathbb N, je určena prvním členem LaTeX: a_1=0 a rekurentním vztahem:

LaTeX: a_{n+1}=q\cdot a_n+4.
  • Určete všechny reálné hodnoty hodnoty LaTeX: q, pro něž je je posloupnost LaTeX: (a_n)_{n=1}^\infty konvergentní.
  • Pro LaTeX: q=-\frac12 vypočtěte LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n.

Řešení

Začneme tím, že se pokusíme najít vztah pro LaTeX: n-tý člen posloupnosti. Vypíšeme-li několik prvních členů

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}a_1&=&0\\a_2&=&q\cdot0+4=4\\a_3&=&q\cdot4+4=4q+4\\a_4&=&q(4q+4)+4=4q^2+4q+4\\a_5&=&q(4q^2+4q+4)+4=4q^3+4q^2+4q+4 \end{eqnarray*}

můžeme si všimnout, že každý člen představuje součet prvních LaTeX: n-1 členů geometrické posloupnost s kvocientem LaTeX: q a prvním členem LaTeX: 4.

Takže vzorec pro LaTeX: n-tý člen je

LaTeX: a_n=4\cdot\frac{q^{n-1}-1}{q-1}
  • Tato posloupnost bude konvergentní právě tehdy, když bude konvergentní posloupnost LaTeX: b_n=q^{n-1}. Toto je je však geometrická posloupnost a její podmínka konvergence je LaTeX: |q|<1.
    Posloupnost LaTeX: (a_n)_{n=1}^\infty bude konvergentní právě tehdy, když LaTeX: q\in(-1;1).
  • Protože limita konvergující geometrické posloupnosti je nula, bude
LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}4\frac{q^{n-1}-1}{q-1}=\frac{4}{1-q}
Dosazením hodnoty LaTeX: q=-\frac12 dostaneme
LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\frac{4}{1+\frac12}=\frac83