Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Napište rovnici přímky – MatWiki

Napište rovnici přímky

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Napište rovnici přímky, která prochází bodem LaTeX: \mathsf A[-3;7] a má stejnou vzdálenost od bodů LaTeX: \mathsf B[-4;-2], LaTeX: \mathsf C[2;4].

Řešení

Rovnici budeme hledat ve tvaru LaTeX: p:ax+by+c=0. Všechny přímky, které procházejí bodem LaTeX: \mathsf M[x_0;y_0] pak můžeme zapsat ve tvaru LaTeX: p:a(x-x_0)+b(y-y_0)=0. Dosazením souřadnic bodu LaTeX: \matsf A dostaneme:

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray}p:a(x+3)+b(y-7)&=&0\nonumber\\ax+by+3a-7b&=&0\end{eqnarray}

Vzdálenost bodu LaTeX: \mathsf B od přímky LaTeX: p je

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}d(p,B)&=&\dfrac{|-4a-2b+3a-7b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{eqnarray*}

a podobně vzdálenost od bodu LaTeX: C je

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}d(p,C)&=&\dfrac{|2a+4b+3a-7b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{eqnarray*}.
Z rovnosti vzdáleností dostaneme:
LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\dfrac{|-a-9b|}{\sqrt{a^2+b^2}}&=&\dfrac{|5a-3b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\|a+9b|&=&|5a-3b|\\(a+9b)^2&=&(5a-3b)^2\\(a+9b)^2-(5a-3b)^2&=&0\\(a+9b-5a+3b)(a+9b+5a-3b)&=&0\\(12b-4a)(6a+6b)&=&0\\ a=3b&\vee&a=-b \end{eqnarray*}

Postupným doszením do rovnice LaTeX: (1) máme

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}p_1:3bx+by+9b-7b&=&0\\p_1:3x+y+2&=&0\end{eqnarray*}

a

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}p_2:-bx+by-3b-7b&=&0\\x-y+10&=&0\end{eqnarray*}

Existují dvě přímky daných vlastností: LaTeX: p_1:3x+y+2=0 a LaTeX: p_2:x-y+10=0.