Limity

Z MatWiki

Několik málo triků, jak se vypořádat s limitami funkcí.

Obsah

1 Spojitost
2 Známé limity
3 Vytknutí největšího řádu
4 Rozdíl odmocnin
5 Typ x na ixtou
6 L'Hospital
7 Taylor
8 Dodatky

Spojitost

Je-li funkce $LaTeX: f$ spojitá v $LaTeX: x_0$ , pak

$LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$

Reálně to znamená asi tolik: pokud dosadíte v limitě $LaTeX: x_0$ za $LaTeX: x$ a nedostanete nedefinovaný výraz, máte řešení limity.

Nedefinovanými výrazy jsou:

$LaTeX: 0 \cdot \pm \infty$
$LaTeX: 0 / 0$
$LaTeX: \pm \infty / \pm \infty$
$LaTeX: \infty - \infty$
$LaTeX: 1^{\pm \infty}$
$LaTeX: 0^0$
$LaTeX: \infty^0$

Známé limity

Několik limit, které je dobré si pamatovat a hledat je ve složitějších limitách.

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { \sin x \over x } = 1$

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { \ln (1+x) \over x } = 1$

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { e^x-1 \over x } = 1$

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { 1-\cos x \over x^2 } = {1 \over 2}$

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { \mbox{tg } x \over x } = 1$

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { \mbox{arctg } x \over x } = 1$

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+{1 \over x} \right)^x = e$

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} {\ln x \over x^a} = 0$ pro všechna $LaTeX: a>0$ (každá kladná mocnina "jde do nekonečna rychleji" než logaritmus)

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} {x^a \over e^x} = 0$ pro všechna $LaTeX: a\in \mathbb{R}$ (exponenciála "jde do nekonečna rychleji" než každá mocnina)

Velice často se tyto známé limity vyskytují ve složené funkci, tedy např.

$LaTeX: { \sin f(x) \over f(x)} =1 \mbox{ pro } f(x) \rightarrow 0$

Je však potřeba ověřit větu o limitě složené funkce. V tomto případě to znamená zkontrolovat, že vnitřní funkce $LaTeX: f(x)$ je na okolí monotonní. V absolutní většině příkladů, se kterými se setkáte, je věta splněna, avšak je potřeba to zkontrolovat.

Přesné znění je uvedeno ve spodní části stránky.

Vytknutí největšího řádu

Nejlépe asi vidět na příkladu:

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} { 2x^2 -3x \over x^2 +4x -2}$

Vidíme, že jde o neurčitý výraz tvaru "nekonečno děleno nekonečno". Čitatel i jmenovatel podělíme největším řádem, tedy $LaTeX: x^2$ :

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} { 2 - {3 \over x} \over 1+{4 \over x} - {2 \over x^2} } = 2$

Přestože jsme úpravou dostali "škaredší" výraz, můžeme již využít spojitosti a dosadit.

Rozdíl odmocnin

Opět ilustrujeme na příkladu

$LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}$

Při dosazení bychom dostali "nekonečno mínus nekonečno. Využijeme tedy známého vzorce

$LaTeX: a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ akorát v trochu zmutované podobě, totiž: $LaTeX: \sqrt{a} - \sqrt{b} = {a-b \over \sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Příklad se tedy převede na

$LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} {(x-1) - (x+1) \over \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} }=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} {-2 \over \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1}}$

Opět "vizuálně škaredší" výraz, avšak již nejde o neurčitost! Po dosazení vidíme, že jde o "-2 děleno nekonečno", tedy 0.

Typ x na ixtou

Tímto způsobem se vypořádáváme s neurčitostmi typu $LaTeX: 1^\infty$ či $LaTeX: 0^0$ . Využije se identity $LaTeX: y = e^{\ln y}$ , která zřejmě platí pro všechna kladná $LaTeX: y$ . Protože $LaTeX: \ln y^a = a \ln y$ , převedeme "mocninnou neurčinost" na součin.

Jako příklad uvedeme známou limitu:

$LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+{1 \over x} \right)^x$

Vidíme, že závorka se pro velká x blíží do 1, exponent do nekonečna. Použijeme tedy uvedenou identitu a upravíme.

$LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \exp\left( x \ln \left(1+{1 \over x} \right)\right) = \exp \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left( x \ln \left(1+{1 \over x} \right)\right)$

Všimněte si důležité úpravy, která jde téměř vždy ruku v ruce s výrazem typu "x na ixtou" - totiž prohození exponeniální funkce s limitou. Oprávnění k této operaci nám dává spojitost funkce $LaTeX: \exp{}$ .

Tento výraz můžeme přepsat následujícím způsobem:

$LaTeX: \exp \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left( { \ln \left(1+{1 \over x} \right) \over {1 \over x}}\right)$

Nyní využijeme známé limity tvaru $LaTeX: {\ln (1+y) \over y } \rightarrow 1$ pro $LaTeX: y \rightarrow 0$ a také $LaTeX: {1 \over x} \rightarrow 0$ pro $LaTeX: x \rightarrow \infty$ . S odvoláním se na větu o limitě složené funkce $LaTeX: \left({ 1 \over x} \neq 0\right)$ vidíme, že

$LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left( { \ln \left(1+{1 \over x} \right) \over {1 \over x}}\right) = 1$

a tedy

$LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+{1 \over x} \right)^x = e$

L'Hospital

Možná nejdůležitější pravidlo pro počítání limit. Zní následovně:

Máme-li funkce $LaTeX: f$ a $LaTeX: g$ , jejichž derivace jsou konečné a $LaTeX: g'(x) \neq 0$ , pak platí

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow x_0} {f(x) \over g(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} {f'(x) \over g'(x) }$

!!!POKUD!!!

1) Limita vpravo existuje

2) Buď $LaTeX: f(x) \rightarrow 0, g(x) \rightarrow 0$ pro $LaTeX: x \rightarrow x_0$

nebo $LaTeX: |g(x)| \rightarrow +\infty$ , $LaTeX: x \rightarrow x_0$

Co z toho vyplývá? Je NUTNÉ zkontrolovat, že $LaTeX: f(x) \over g(x)$ je neurčitost typu "0/0" nebo "nekonečno/nekonečno". Jinak by věta neplatila a dostali bychom špatný výsledek.

Dále je potřeba si uvědomit, že pokud limita vpravo, tj. $LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow x_0} {f'(x) \over g'(x)}$ , neexistuje, neznamená to, že neexistuje původní limita. Věta říká pouze:

 Pokud limita napravo existuje, pak existuje i limita nalevo a tyto limity jsou si rovny.

Příklad:

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} {x + \sin x \over x}$

Snadno pomocí věty o dvou policajtech (viz Dodatky) se ukáže, že tato limita je rovna 1. Podívejme se, co nám řekne pan l'Hospital.

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} {(x + \sin x)' \over (x)'} = \lim_{x \rightarrow \infty} {1 + \cos x \over 1}$

Tato limita však neexistuje!

Jako cvičení si můžeme pomocí l'Hospitalova pravidla spočítat limity v sekci Známé limity.

Taylor

Pomocí Taylorova polynomu je možné efektivně počítat limity. Tvrzení, které využíváme, je následující:

Nechť $LaTeX: f(x) \in C^n$ na okolí bodu $LaTeX: x_0$ . Označme

$LaTeX: T_{x_0}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {f^{(k)} (x_0) \over k! }(x-x_0)^k$

Pak

$LaTeX: f(x) - T_{x_0}(x) = _\mathcal{O}(x-x_0)^n$

neboli

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow x_0} { f(x) - T_{x_0}(x) \over (x-x_0)^n} = 0$

Jak to přeložit do řeči lidí? Pokud je funkce "dostatečně hladká", existuje polynom, který ji rozumně aproximuje. Pokud nás zajímá limita funkce $LaTeX: f(x)$ v bodě $LaTeX: x_0$ , pak Taylorův polynom od středu $LaTeX: x_0$ , který jsme označili $LaTeX: T_{x_0}(x)$ , se v bodě $LaTeX: x_0$ do jisté míry "chová stejně". Přesnost této aproximace můžeme libovolně volit (pomocí řádu polynomu $LaTeX: n$ ), většinou se však bude stačit jeden či dva řády. Výhoda je v tom, že počítat limity "škaredých" funkcí jako $LaTeX: \sin x, \cos x, \arctg x, (1+x)^{a}$ je značně těžší, než pracovat s polynomy.

Nejprve uvedeme několik polynomů pro nejdůležitější funkce se středem v bodě $LaTeX: x_0 = 0$ .

$LaTeX: e^x = 1 + x + {x^2 \over 2} + ... + {x^n \over n!} + _\mathcal{O}(x^n)$
$LaTeX: \sin x = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} + ... + (-1)^n {x^{2n+1} \over (2n+1)!} + _\mathcal{O}(x^{2n+1})$
$LaTeX: \cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} + ... + (-1)^n {x^{2n} \over (2n)!} + _\mathcal{O}(x^{2n})$
$LaTeX: (1+x)^a = 1+ ax + {a(a-1) \over 2} x^2 + ... + \left( \begin{array}{c}a \\ n \end{array}\right) x^n + _\mathcal{O}(x^n)$
$LaTeX: \ln (1+x) = x - {x^2 \over 2} + {x^3 \over 3} + ... + (-1)^{n+1} {x^n \over n} + _\mathcal{O}(x^{n})$

Jako příklad můžeme uvést známou limitu pro cosinus. Zde využijeme aproximace funkce $LaTeX: \cos$ Taylorem druhého řádu.

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { 1-\cos x \over x^2 } = \lim_{x \rightarrow 0} { 1 - (1-{x^2 \over 2} + _\mathcal{O}(x^2)) \over x^2 } = \lim_{x \rightarrow 0} { x^2 \over 2x^2} + \lim_{x \rightarrow 0} {_\mathcal{O}(x^2) \over x^2 }$

První limita je hledaná $LaTeX: {1 \over 2}$ , druhá je "z definice" nula (viz dodatek).

Dodatky

Věta o limitě složené funkce

Pokud $LaTeX: f(x) \rightarrow y_0$ pro $LaTeX: x \rightarrow x_0$ a $LaTeX: g(y) \rightarrow A$ pro $LaTeX: y \rightarrow y_0$ , pro $LaTeX: x_0, y_0, A \in \overline{\mathbb{R}}$ . Pak

$LaTeX: g(f(x)) \rightarrow A$ pro $LaTeX: x \rightarrow x_0$ POKUD je splněn alespoň jeden z následujících předpokladů:

i) $LaTeX: g(y)$ je spojitá v $LaTeX: y_0$

ii) $LaTeX: f(x) \neq y_0$ na nějakém prstencovém okolí $LaTeX: P(x_0)$

Věta o dvou policajtech

Pokud máme funkce $LaTeX: f,g,h$ takové, že $LaTeX: f \leq g \leq h$ a $LaTeX: \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} h(x) = A$ Pak také limita $LaTeX: g(x)$ v bodě $LaTeX: x_0$ existuje a je rovna

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = A$

Příklad:

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} {x+ \sin x \over x}$

Zřejmě platí:

$LaTeX: {x-1 \over x} \leq {x + \sin x \over x} \leq {x+1 \over x}$

a také

$LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} {x-1 \over x} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} {x-1 \over x} = 1$

věta nám říká, že

$LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} {x+ \sin x \over x} = 1$

Operace s "malým o"

"Malé o" je symbol, kterým lze výhodně zapsat zbytek Taylorova polynomu. Konkrétně $LaTeX: _\mathcal{O}(x^k)$ je nějaký výraz, který když vydělíme $LaTeX: x^k$ , výsledek bude v limitě nulový.

Pokud rozvineme do Taylorova polynomu více funkcí, můžeme dostat více "malých o" a musíme znát, jak se s nimi vypořádat. Platí tato jednoduchá pravidla:

$LaTeX: _\mathcal{O}(x^{m}) + _\mathcal{O}(x^{n}) = _\mathcal{O}(\min(m,n))$
$LaTeX: _\mathcal{O}(x^{m}) \cdot _\mathcal{O}(x^{n}) = _\mathcal{O}(x^{m+n} )$
$LaTeX: x^m \cdot _\mathcal{O}(x^n) = _\mathcal{O}(x^{m+n} )$