Limity

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Několik málo triků, jak se vypořádat s limitami funkcí.


Obsah

Spojitost

Je-li funkce LaTeX: f spojitá v LaTeX: x_0, pak

LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)

Reálně to znamená asi tolik: pokud dosadíte v limitě LaTeX: x_0 za LaTeX: x a nedostanete nedefinovaný výraz, máte řešení limity.

Nedefinovanými výrazy jsou:

  • LaTeX:  0 \cdot \pm \infty
  • LaTeX:  0 / 0
  • LaTeX:  \pm \infty / \pm \infty
  • LaTeX:  \infty - \infty
  • LaTeX:  1^{\pm \infty}
  • LaTeX:  0^0
  • LaTeX:  \infty^0

Známé limity

Několik limit, které je dobré si pamatovat a hledat je ve složitějších limitách.

LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { \sin x \over x } = 1

LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { \ln (1+x) \over x } = 1

LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { e^x-1 \over x } = 1

LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { 1-\cos x \over x^2  } = {1 \over 2}

LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { \mbox{tg } x \over x } = 1

LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { \mbox{arctg } x \over x } = 1

LaTeX:  \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+{1 \over x} \right)^x = e

LaTeX:  \lim_{x \rightarrow \infty} {\ln x \over x^a} = 0 pro všechna LaTeX: a>0 (každá kladná mocnina "jde do nekonečna rychleji" než logaritmus)

LaTeX:  \lim_{x \rightarrow \infty} {x^a  \over e^x} = 0 pro všechna LaTeX: a\in \mathbb{R} (exponenciála "jde do nekonečna rychleji" než každá mocnina)

Velice často se tyto známé limity vyskytují ve složené funkci, tedy např.

LaTeX:  { \sin f(x) \over f(x)} =1 \mbox{ pro } f(x) \rightarrow 0

Je však potřeba ověřit větu o limitě složené funkce. V tomto případě to znamená zkontrolovat, že vnitřní funkce LaTeX: f(x) je na okolí monotonní. V absolutní většině příkladů, se kterými se setkáte, je věta splněna, avšak je potřeba to zkontrolovat.

Přesné znění je uvedeno ve spodní části stránky.

Vytknutí největšího řádu

Nejlépe asi vidět na příkladu:

LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} { 2x^2 -3x \over x^2 +4x -2}

Vidíme, že jde o neurčitý výraz tvaru "nekonečno děleno nekonečno". Čitatel i jmenovatel podělíme největším řádem, tedy LaTeX: x^2:

LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} { 2 - {3 \over x} \over 1+{4 \over x} - {2 \over x^2} } = 2

Přestože jsme úpravou dostali "škaredší" výraz, můžeme již využít spojitosti a dosadit.

Rozdíl odmocnin

Opět ilustrujeme na příkladu

LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}

Při dosazení bychom dostali "nekonečno mínus nekonečno. Využijeme tedy známého vzorce

LaTeX: a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) akorát v trochu zmutované podobě, totiž: LaTeX: \sqrt{a} - \sqrt{b} = {a-b \over \sqrt{a} + \sqrt{b}}

Příklad se tedy převede na

LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} {(x-1) - (x+1) \over \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} }=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} {-2 \over \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1}}

Opět "vizuálně škaredší" výraz, avšak již nejde o neurčitost! Po dosazení vidíme, že jde o "-2 děleno nekonečno", tedy 0.

Typ x na ixtou

Tímto způsobem se vypořádáváme s neurčitostmi typu LaTeX: 1^\infty či LaTeX: 0^0. Využije se identity LaTeX:  y = e^{\ln y} , která zřejmě platí pro všechna kladná LaTeX: y. Protože LaTeX: \ln y^a = a \ln y, převedeme "mocninnou neurčinost" na součin.

Jako příklad uvedeme známou limitu:

LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+{1 \over x} \right)^x

Vidíme, že závorka se pro velká x blíží do 1, exponent do nekonečna. Použijeme tedy uvedenou identitu a upravíme.

LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \exp\left( x \ln \left(1+{1 \over x} \right)\right) = \exp \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left( x \ln \left(1+{1 \over x} \right)\right)

Všimněte si důležité úpravy, která jde téměř vždy ruku v ruce s výrazem typu "x na ixtou" - totiž prohození exponeniální funkce s limitou. Oprávnění k této operaci nám dává spojitost funkce LaTeX: \exp{} .

Tento výraz můžeme přepsat následujícím způsobem:

LaTeX: \exp \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left( { \ln \left(1+{1 \over x} \right) \over {1 \over x}}\right)

Nyní využijeme známé limity tvaru LaTeX: {\ln (1+y) \over y } \rightarrow 1 pro LaTeX: y \rightarrow 0 a také LaTeX:  {1 \over x} \rightarrow 0 pro LaTeX:  x \rightarrow \infty . S odvoláním se na větu o limitě složené funkce LaTeX: \left({ 1 \over x} \neq 0\right) vidíme, že

LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left( { \ln \left(1+{1 \over x} \right) \over {1 \over x}}\right) = 1

a tedy

LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+{1 \over x} \right)^x = e

L'Hospitalovo pravidlo

Možná nejdůležitější pravidlo pro počítání limit. Zní následovně:

Máme-li funkce LaTeX: f a LaTeX: g, jejichž derivace jsou konečné a LaTeX: g'(x) \neq 0, pak platí

LaTeX:  \lim_{x \rightarrow x_0} {f(x) \over g(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} {f'(x) \over g'(x) }

!!!POKUD!!!

1) Limita vpravo existuje

2) Buď LaTeX: f(x) \rightarrow 0, g(x) \rightarrow 0 pro LaTeX: x \rightarrow x_0

nebo LaTeX: |g(x)| \rightarrow +\infty, LaTeX: x \rightarrow x_0

Co z toho vyplývá? Je NUTNÉ zkontrolovat, že LaTeX: f(x) \over g(x) je neurčitost typu "0/0" nebo "nekonečno/nekonečno". Jinak by věta neplatila a dostali bychom špatný výsledek.

Dále je potřeba si uvědomit, že pokud limita vpravo, tj. LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow x_0} {f'(x) \over g'(x)}, neexistuje, neznamená to, že neexistuje původní limita. Věta říká pouze:

 Pokud limita napravo existuje, pak existuje i limita nalevo a tyto limity jsou si rovny.

Příklad:

LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} {x + \sin x \over x}

Snadno pomocí věty o dvou policajtech (viz Dodatky) se ukáže, že tato limita je rovna 1. Podívejme se, co nám řekne pan l'Hospital.

LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} {(x + \sin x)' \over (x)'} =  \lim_{x \rightarrow \infty} {1 + \cos x \over 1}

Tato limita však neexistuje!

Jako cvičení si můžeme pomocí l'Hospitalova pravidla spočítat limity v sekci Známé limity.

Taylorovo pravidlo

Pomocí Taylorova polynomu je možné efektivně počítat limity. Tvrzení, které využíváme, je následující:

Nechť LaTeX: f(x) \in C^n na okolí bodu LaTeX: x_0. Označme

LaTeX: T_{x_0}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {f^{(k)} (x_0) \over k! }(x-x_0)^k

Pak

LaTeX: f(x) - T_{x_0}(x) = _\mathcal{O}(x-x_0)^n

neboli

LaTeX: \lim_{x \rightarrow x_0} { f(x) - T_{x_0}(x) \over (x-x_0)^n} = 0

Jak to přeložit do řeči lidí? Pokud je funkce "dostatečně hladká", existuje polynom, který ji rozumně aproximuje. Pokud nás zajímá limita funkce LaTeX: f(x) v bodě LaTeX: x_0, pak Taylorův polynom od středu LaTeX: x_0, který jsme označili LaTeX: T_{x_0}(x), se v bodě LaTeX: x_0 do jisté míry "chová stejně". Přesnost této aproximace můžeme libovolně volit (pomocí řádu polynomu LaTeX: n), většinou se však bude stačit jeden či dva řády. Výhoda je v tom, že počítat limity "škaredých" funkcí jako LaTeX: \sin x, \cos x, \arctg x, (1+x)^{a} je značně těžší, než pracovat s polynomy.

Nejprve uvedeme několik polynomů pro nejdůležitější funkce se středem v bodě LaTeX: x_0 = 0.

  • LaTeX: e^x = 1 + x + {x^2 \over 2} + ... + {x^n \over n!} + _\mathcal{O}(x^n)
  • LaTeX: \sin x = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} + ... + (-1)^n {x^{2n+1} \over (2n+1)!} + _\mathcal{O}(x^{2n+1})
  • LaTeX: \cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} + ... + (-1)^n {x^{2n} \over (2n)!} + _\mathcal{O}(x^{2n})
  • LaTeX: (1+x)^a = 1+ ax + {a(a-1) \over 2} x^2 + ... + \left( \begin{array}{c}a \\ n \end{array}\right) x^n + _\mathcal{O}(x^n)
  • LaTeX: \ln (1+x) = x - {x^2 \over 2} + {x^3 \over 3} + ... + (-1)^{n+1} {x^n \over n} + _\mathcal{O}(x^{n})

Jako příklad můžeme uvést známou limitu pro cosinus. Zde využijeme aproximace funkce LaTeX: \cos Taylorem druhého řádu.

LaTeX: \lim_{x \rightarrow 0} { 1-\cos x \over x^2 } = \lim_{x \rightarrow 0} { 1 - (1-{x^2 \over 2} + _\mathcal{O}(x^2)) \over x^2 } = \lim_{x \rightarrow 0} { x^2 \over 2x^2} + \lim_{x \rightarrow 0} {_\mathcal{O}(x^2) \over x^2 }

První limita je hledaná LaTeX:  {1 \over 2}, druhá je "z definice" nula (viz dodatek).

Dodatky

Věta o limitě složené funkce

Pokud LaTeX: f(x) \rightarrow y_0 pro LaTeX: x \rightarrow x_0 a LaTeX: g(y) \rightarrow A pro LaTeX: y \rightarrow y_0, pro LaTeX: x_0, y_0, A \in \overline{\mathbb{R}} . Pak

LaTeX: g(f(x)) \rightarrow A pro LaTeX: x \rightarrow x_0 POKUD je splněn alespoň jeden z následujících předpokladů:

i) LaTeX: g(y) je spojitá v LaTeX: y_0

ii) LaTeX: f(x) \neq y_0 na nějakém prstencovém okolí LaTeX: P(x_0)

Sandwichové pravidlo/Věta o dvou policajtech

Pokud máme funkce LaTeX: f,g,h takové, že LaTeX: f \leq g \leq h a LaTeX: \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} h(x) = A Pak také limita LaTeX: g(x) v bodě LaTeX: x_0 existuje a je rovna

LaTeX: \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = A

Příklad:

LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} {x+ \sin x \over x}

Zřejmě platí:

LaTeX: {x-1 \over x} \leq {x + \sin x \over x} \leq {x+1 \over x}

a také

LaTeX: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} {x-1 \over x} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} {x-1 \over x} = 1

věta nám říká, že

LaTeX: \lim_{x \rightarrow \infty} {x+ \sin x \over x} = 1

Operace s "malým o"

"Malé o" je symbol, kterým lze výhodně zapsat zbytek Taylorova polynomu. Konkrétně LaTeX: _\mathcal{O}(x^k) je nějaký výraz, který když vydělíme LaTeX: x^k, výsledek bude v limitě nulový.

Pokud rozvineme do Taylorova polynomu více funkcí, můžeme dostat více "malých o" a musíme znát, jak se s nimi vypořádat. Platí tato jednoduchá pravidla:

  • LaTeX: _\mathcal{O}(x^{m}) + _\mathcal{O}(x^{n}) = _\mathcal{O}(\min(m,n))
  • LaTeX: _\mathcal{O}(x^{m}) \cdot _\mathcal{O}(x^{n}) = _\mathcal{O}(x^{m+n} )
  • LaTeX:  x^m \cdot _\mathcal{O}(x^n) = _\mathcal{O}(x^{m+n} )