Limity
Z MatWiki
Několik málo triků, jak se vypořádat s limitami funkcí.
Obsah |
Spojitost
Je-li funkce spojitá v
, pak
Reálně to znamená asi tolik: pokud dosadíte v limitě za
a nedostanete nedefinovaný výraz, máte řešení limity.
Nedefinovanými výrazy jsou:
Známé limity
Několik limit, které je dobré si pamatovat a hledat je ve složitějších limitách.
pro všechna
(každá kladná mocnina "jde do nekonečna rychleji" než logaritmus)
pro všechna
(exponenciála "jde do nekonečna rychleji" než každá mocnina)
Velice často se tyto známé limity vyskytují ve složené funkci, tedy např.
Je však potřeba ověřit větu o limitě složené funkce. V tomto případě to znamená zkontrolovat, že vnitřní funkce je na okolí monotonní. V absolutní většině příkladů, se kterými se setkáte, je věta splněna, avšak je potřeba to zkontrolovat.
Přesné znění je uvedeno ve spodní části stránky.
Vytknutí největšího řádu
Nejlépe asi vidět na příkladu:
Vidíme, že jde o neurčitý výraz tvaru "nekonečno děleno nekonečno". Čitatel i jmenovatel podělíme největším řádem, tedy :
Přestože jsme úpravou dostali "škaredší" výraz, můžeme již využít spojitosti a dosadit.
Rozdíl odmocnin
Opět ilustrujeme na příkladu
Při dosazení bychom dostali "nekonečno mínus nekonečno. Využijeme tedy známého vzorce
akorát v trochu zmutované podobě, totiž:
Příklad se tedy převede na
Opět "vizuálně škaredší" výraz, avšak již nejde o neurčitost! Po dosazení vidíme, že jde o "-2 děleno nekonečno", tedy 0.
Typ x na ixtou
Tímto způsobem se vypořádáváme s neurčitostmi typu či
. Využije se identity
, která zřejmě platí pro všechna kladná
. Protože
, převedeme "mocninnou neurčinost" na součin.
Jako příklad uvedeme známou limitu:
Vidíme, že závorka se pro velká x blíží do 1, exponent do nekonečna. Použijeme tedy uvedenou identitu a upravíme.
Všimněte si důležité úpravy, která jde téměř vždy ruku v ruce s výrazem typu "x na ixtou" - totiž prohození exponeniální funkce s limitou. Oprávnění k této operaci nám dává spojitost funkce .
Tento výraz můžeme přepsat následujícím způsobem:
Nyní využijeme známé limity tvaru pro
a také
pro
.
S odvoláním se na větu o limitě složené funkce
vidíme, že
a tedy
L'Hospitalovo pravidlo
Možná nejdůležitější pravidlo pro počítání limit. Zní následovně:
Máme-li funkce a
, jejichž derivace jsou konečné a
, pak platí
!!!POKUD!!!
1) Limita vpravo existuje
2) Buď pro
nebo ,
Co z toho vyplývá? Je NUTNÉ zkontrolovat, že je neurčitost typu "0/0" nebo "nekonečno/nekonečno". Jinak by věta neplatila a dostali bychom špatný výsledek.
Dále je potřeba si uvědomit, že pokud limita vpravo, tj. , neexistuje, neznamená to, že neexistuje původní limita. Věta říká pouze:
Pokud limita napravo existuje, pak existuje i limita nalevo a tyto limity jsou si rovny.
Příklad:
Snadno pomocí věty o dvou policajtech (viz Dodatky) se ukáže, že tato limita je rovna 1. Podívejme se, co nám řekne pan l'Hospital.
Tato limita však neexistuje!
Jako cvičení si můžeme pomocí l'Hospitalova pravidla spočítat limity v sekci Známé limity.
Taylorovo pravidlo
Pomocí Taylorova polynomu je možné efektivně počítat limity. Tvrzení, které využíváme, je následující:
Nechť na okolí bodu
. Označme
Pak
neboli
Jak to přeložit do řeči lidí? Pokud je funkce "dostatečně hladká", existuje polynom, který ji rozumně aproximuje. Pokud nás zajímá limita funkce v bodě
, pak Taylorův polynom od středu
, který jsme označili
, se v bodě
do jisté míry "chová stejně". Přesnost této aproximace můžeme libovolně volit (pomocí řádu polynomu
), většinou se však bude stačit jeden či dva řády. Výhoda je v tom, že počítat limity "škaredých" funkcí jako
je značně těžší, než pracovat s polynomy.
Nejprve uvedeme několik polynomů pro nejdůležitější funkce se středem v bodě .
Jako příklad můžeme uvést známou limitu pro cosinus. Zde využijeme aproximace funkce Taylorem druhého řádu.
První limita je hledaná , druhá je "z definice" nula (viz dodatek).
Dodatky
Věta o limitě složené funkce
Pokud pro
a
pro
, pro
. Pak
pro
POKUD je splněn alespoň jeden z následujících předpokladů:
i) je spojitá v
ii) na nějakém prstencovém okolí
Sandwichové pravidlo/Věta o dvou policajtech
Pokud máme funkce takové, že
a
Pak také limita
v bodě
existuje a je rovna
Příklad:
Zřejmě platí:
a také
věta nám říká, že
Operace s "malým o"
"Malé o" je symbol, kterým lze výhodně zapsat zbytek Taylorova polynomu. Konkrétně je nějaký výraz, který když vydělíme
, výsledek bude v limitě nulový.
Pokud rozvineme do Taylorova polynomu více funkcí, můžeme dostat více "malých o" a musíme znát, jak se s nimi vypořádat. Platí tato jednoduchá pravidla: